Повышенная скорость диссипации в несжимаемой суспензии

Приступим к использованию полученных результатов для расчета эффективной вязкости сдвига в суспензии малых несжимаемых сферических частиц, совершающей заданное движение. Способ определения и вычисления эффективной вязкости неочевиден и должен быть подробно описан.

Предположим, что объем суспензии ограничен изменяемой поверхностью на которой скорость определяется как некоторая линейная функция координат; чтобы иметь полностью определенную систему, возьмем эту скорость в точности линейной функцией от х. Вращательная часть движения границы в анализ не входит, поэтому для удобства выберем компоненту скорости на границе в виде произведения где симметричный тензор с Суспензия совершает движение, совместное с движением границы, и если бы суспензия была однородной жидкостью, то всюду в объеме ее скорость была бы равна однако вследствие наличия частиц скорость окружающей жидкости имеет такое значение только в среднем, и она равна

Давление в суспензии также имело бы вполне определенную величину, например если бы суспензия была однородной жидкостью с одной и той же средней плотностью, в то время как в действительности давление в окружающей жидкости,

имеет более сложную зависимость от координат.

Если частицы находятся далеко друг от друга, то можно считать, что каждая частица погружена в жидкость с чисто деформационным движением, характеризуемым тензором скоростей деформации и вблизи одной частицы скорость и давление определяются формулами (4.11.10) и последующими; однако пока нет необходимости их использовать.

Тензор напряжений в любой точке окружающей жидкости с коэффициентом вязкости равен

где

С другой стороны, если бы суспензия была однородной жидкостью с той же самой средней плотностью и коэффициентом вязкости то тензор напряжений был бы равен

Мы хотим выбрать коэффициент вязкости так, чтобы по физическому смыслу он отражал суммарное влияние возмущений из-за наличия в суспензии всех частиц. Соответствующая величина, которая, будучи выраженной двумя различными способами, приводит к определению эффективной вязкости, представляет собой скорость диссипации механической энергии в объеме эта скорость диссипации есть прямой результат действия

внутреннего трения, и она позволяет учесть влияние возмущений течения, создаваемых всеми частицами внутри объема

Дополнительная скорость диссипации на единицу объема в жидкости на расстоянии от одной частицы изменяется асимптотически по закону (см. (4.11.1) и (4.11.13)), и из-за этого становится тщетной попытка непосредственного вычисления полной добавочной скорости диссипации путем интегрирования по объему жидкости интеграл, хотя он и сходится, зависит, однако, от формы удаленной внешней границы области интегрирования для каждой частицы. Поэтому мы вынуждены выбрать другой путь. Скорость, с которой совершается работа силами на границе равна

а если бы суспензия была однородной жидкостью с той же средней плотностью и с коэффициентом вязкости то та же величина была бы равна

Член, содержащий одинаков в обоих выражениях, и он учитывает любое возрастание кинетической энергии, связанное с линейным полем скоростей. Остальные члены обоих выражений представляют собой скорости диссипации внутри объема и эффективный коэффициент вязкости определяется как раз так, чтобы они были равны; используя формулу Остроградского — Гаусса, получаем

Последний член в выражении (4.11.15), добавочную скорость диссипации в объеме в связи с наличием в нем частиц, можно преобразовать в интеграл по поверхностям частиц. Поэтому

где суть поверхность и объем одной частицы, вектор внешней нормали к поверхности символ означает суммирование по всем частицам в объеме Возмущение движения, обусловленное наличием каждой частицы, описывается уравнением (4.11.7), если, как мы предположили, удовлетворяется условие (4.11.6); поэтому Кроме того,

поскольку на границе В результате соотношение (4.11.15) преобразуется так:

Правая часть его представляет собой добавочную скорость диссипации на единицу объема из-за наличия в объеме частиц. Соответствующее выражение для коэффициента эффективной вязкости изотропной суспензии справедливо для любого расположения частиц в объеме

Если теперь мы учтем, что суспензия содержит сферические частицы на больших (по сравнению с диаметрами) расстояниях друг от друга и возмущение течения вблизи одной частицы приближенно не зависит от существования других частиц, то полученные ранее результаты можно использовать для вычисления интеграла в соотношении (4.11.16). Из выражений (4.11.14), (4.11.10) и (4.11.11) следует, что

Поверхность представляет собой сферу радиуса а, и с использованием известных тождеств

в которых интегрирование выполняется по полному телесному углу, стягиваемому поверхностью сферы с вершиной в ее центре, находим

Таким образом,

и с использованием равенств (4.11.12) имеем

Суммирование в формуле (4.11.19) производится по различным частицам, которые по предположению имеют сферическую форму,

хотя в других отношениях они не подобны. Если все частицы имеют одинаковую внутреннюю вязкость, то

где объемная концентрация частиц. В случае суспензии твердых частиц эффективный коэффициент вязкости больше, чем коэффициент вязкости окружающей их жидкости, в раз (этот результат был впервые получен Эйнштейном (1906, 1911)); для суспензии газовых пузырьков соответствующая величина равна а.

Формулы (4.11.19) и (4.11.20) подчинены ограничению а 1; когда концентрация не мала по сравнению с единицей, наличие соседних частиц влияет на возмущенное течение, вызываемое одной частицей, и тогда равенство (4.11.17) нуждается в уточнении. Экспериментальное подтверждение справедливости соотношения (4.11.20) не очень убедительно, хотя считается, что коэффициент вязкости суспензии малых твердых сфер можно определять по формуле Эйнштейна для значений а, меньших приблизительно 0,02 Формула, соответствующая формуле (4.11.20) для твердых частиц эллипсоидальной формы (в предположении, что броуновское движение достаточно интенсивно, чтобы сделать все направления эллипсоидов равновероятными), была получена Джеффри (1922), и она показывает, что эффективный коэффициент вязкости возрастает с увеличением отклонения формы частицы от сферической, поскольку градиенты скоростей в окружающей жидкости больше для более «заостренных» частиц; однако было обнаружено, что изменение коэффициента а мало до тех пор, пока отношение максимального диаметра частицы к ее минимальному диаметру не превосходит приблизительно трех.