Условия единственности для определения ...

Обсуждение в § 2.7 граничных условий, при которых решение уравнения Лапласа относительно функции единственно (с точностью до аддитивной константы), было связало с использованием формулы Остроградского — Гаусса при написании равенства (2.7.6), которое справедливо только в том случае, когда однозначная функция координат. Для течения в двусвязной области это обсуждение неприемлемо, если только циклическая постоянная не окажется равной нулю. Однако существует простой способ использования полученных ранее результатов для нахождения достаточных условий единственности когда функция многозначный потенциал скорости. Пусть два решения уравнения Лапласа, которые, как известно, имеют одну и ту же циклическую постоянную; тогда разность этих решений дает потенциал скорости ациклического движения и является однозначной функцией координат, к которой применимы полученные ранее выводы. Следовательно, безвихревое соленоидальное течение в двусвязной области определяется единственным образом, если наложены граничные условия, необходимые для получения единственного течения в односвязной области, и определена циклическая постоянная.

Несмотря на то что это простое рассуждение сразу дает полезную теорему единственности, представляет интерес рассмотрение способа, с помощью которого должны быть видоизменены соотношения, подобные (2.7.6), когда многозначная функция координат. Как и ранее, начнем с тождества

где интегралы берутся по двусвязной области, занятой жидкостью. Для того чтобы можно было преобразовать интеграл по поверхности, предположим, что в жидкости поставлена перегородка (нулевой толщины), вроде описанной ранее в этом параграфе. Если

Рис. 2.8.1. Введение перегородки в пространство между двумя цилиндрами.

обе стороны этой перегородки рассматривать как часть границы жидкости, то течение будет происходить в односвязной области, внутри которой однозначная функция координат; путь, выбираемый для соединения исходной точки О с текущей точкой не должен пересекать перегородку (поскольку он не должен выходить из области, занятой жидкостью), и, следовательно, все пары путей образуют стягиваемые замкнутые кривые.

Теперь можно применить формулу Остроградского — Гаусса, так как объем V односвязен, и получить

где А — действительная граница жидкости, включающая внутреннюю и внешнюю границы, соответственно (с нормалью и (с нормалью там, где они имеются, а нормаль к перегородке имеет то же направление по отношению к действительным границам, что и нормаль, используемая для определения положительного значения х. Функции представляют собой значения функции по обе стороны от перегородки, причем относится к той ее стороне, направление которой определяется нормалью На рис. 2.8.1 приведены эти обозначения для случая двусвязной области между двумя бесконечно длинными цилиндрами. Когда точка движется в положительном направлении из одного положения на одной стороне перегородки в соседнее положение на другой ее стороне, не пересекая перегородку, изменение функции равно

Следовательно,

Последний интеграл равен объемному потоку жидкости через перегородку.

Далее, правая часть равенства (2.8.8) равна нулю для движения, характеризуемого разностью если только циклические постоянные движений, определяемых по отдельности функциями равны и обеспечивают выполнение условий описанного ранее вида, накладываемых на граничной поверхности А как на функцию так и на функцию

Другой способ обращения в нуль правой части равенства (2.8.8) для движения с потенциалом состоит в том, чтобы установить, что движения, определяемые по отдельности функциями создают одинаковый объемный поток жидкости через перегородку. Однако такой способ установления единственности течения практически менее полезен, чем способ определения циклической постоянной.

В случаях циклического течения, в которых нормальная компонента скорости заранее задана на всей границе А жидкости, можно и полезно для дальнейшего представить скорость в виде двух, определяемых единственным образом частей, каждая из которых по отдельности вносит свой вклад в правую часть равенства (2.8.8). Одна часть, например определяется однозначным потенциалом таким, что произведение имеет вполне определенную величину во всех точках границы а другая — определяется многозначным потенциалом который имеет заданную циклическую постоянную х и удовлетворяет уравнению

во всех точках границы А. Тогда

т. е. обе части взаимно ортогональны в интегральном смысле, и соотношение (2.8.8) принимает вид

Упражнение

(см. скан)