Двумерное течение в угловой области

Предположим, что одна твердая плоскость наклонена к другой под постоянным углом и равномерно скользит по ней, как показано на рис. 4.8.2 для Жидкость в области между плоскостями приводится в движение, как это может быть в цилиндре с движущимся поршнем или вблизи кромки ножа, когда им хотят соскрести пролитый на скатерть соус. Вблизи точки О пересечения плоскостей градиенты скорости становятся

Рис. 4.8.2. Двумерное течение в угловой области, возникающее при скольжении одной твердой плоскости по другой в произвольных единицах).

очень большими, так как скорость имеет различные значения на двух твердых границах, и поэтому разумно предположить, что основную роль играют силы вязкости. Распределение скорости в окрестности точки О будет определяться на основе именно такого допущения, которое затем будет проверено апостериори.

Задача может быть сведена к задаче установившегося движения путем выбора подвижной системы координат с началом в движущейся точке О. В случаях двумерного движения с малыми силами инерции удобно ввести функцию тока (§ 2.2), причем уравнение сохранения массы тождественно удовлетворяется и единственная ненулевая компонента завихренности становится равной Тогда первое из уравнений (4.8.3) принимает вид

а граничные условия в полярных координатах суть

Форма этих граничных условий такова, что функция тока может быть всюду пропорциональной и остается только проверить, позволяет ли дифференциальное уравнение осуществить эту возможность. Поэтому положим

(4.8.24)

и, подставив эту функцию в дифференциальное уравнение (4.8.23), найдем

Решение этого уравнения есть

теперь нужно выбрать коэффициенты так, чтобы было

Требуемые значения коэффициентов таковы:

Таким образом, мы имеем решение, которое удовлетворяет граничным условиям и уравнениям движения в пренебрежении силами инерции. Компоненты ускорения жидкости в любой точке, вычисленные из этого решения, пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, который зависит от и имеет порядок единицы. Силы вязкости, также оцениваемые на основании этого решения, имеют порядок поэтому предположение о том, что силы инерции пренебрежимо малы, оправдано, если это значит, что полученное решение справедливо в окрестности точки О пересечения сторон угла, определяемой радиусом

Для смазочных масел при нормальных температурах и скорости это условие имеет вид .

Для любого течения с функцией тока (4.8.24) компоненты скорости не зависят от и линии тока с равными приращениями пересекают любой радиус в равноотстоящих точках. Движение обратимо, так как основные уравнения и граничные условия линейны и однородны. В частном случае решение имеет вид

линии тока течения относительно точки О для этого случая изображены на рис. 4.8.2.

Следует отметить, что как нормальная, так и касательная компоненты напряжения в жидкости изменяются как так что полная сила давления жидкости на плоскостях стремится к бесконечности по логарифмическому закону. На практике две плоские твердые границы не имеют идеального геометри

толщину пограничного слоя на всей пластине, пропорциональна следовательно, мы имеем

Приближенное уравнение движения (5.8.1) можно теперь преобразовать таким образом, что оно превратится в первое из безразмерных уравнений (5.7.11). Тот факт, что распределение скорости в пограничном слое на расстоянии х от передней кромки не зависит от полной длины пластины I, позволяет в этом частном случае значительно упростить указанное уравнение в безразмерном виде. Мы утверждаем, что единственная возможность согласовать зависимость безразмерных компонент скорости от безразмерных переменных х и у с независимостью от I состоит в том, чтобы считать и функцией величины

а у — произведением на некоторую функцию от Это соответствует функции тока

и

где некоторая безразмерная функция, а штрих означает дифференцирование по Мы получили, таким образом, некоторое решение, такое, что, как и следовало ожидать, все профили скорости при различных значениях х имеют одинаковую форму. Подстановка выражений (5.8.5) в уравнение (5.8.1) дает

с граничными условиями

Условие при уже удовлетворяет решению, так что (а следовательно, и скорость зависит только от Численное интегрирование уравнения (5.8.6) показывает, что решение, удовлетворяющее поставленным выше граничным условиям, действительно может быть найдено; соответствующее распределение скорости показано на рис. 5.8.1. Были выполнены

независимо от знаков вектор градиента давления (который в соответствии с решением (4.8.28) однороден) и вектор скорости при лежат в одном и том же квадранте.