Эллипсоиды вращения

Простейшим осесимметричным телом, более сложным по форме, чем сфера, является эллипсоид вращения. Первый шаг, который оказывается полезным в данном случае, состоит в преобразовании независимых переменных в основных уравнениях движения (6.8.9) или (6.8.11) к эллиптическим координатам так, чтобы координата оставалась постоянной на эллипсе в плоскости, проходящей через ось симметрии, и на любом софокусном эллипсе,

а координата монотонно изменялась от до на любом из этих эллипсов Соответствие между «плоскостями» и конформно (см. § 6.5, 6.6) и, хотя несколько неожиданно, что общие свойства конформных отображений играют некоторую роль в этом анализе, мы примем, что зависимость между и имеет вид

Чтобы получить уравнение движения в координатах мы воспользуемся выражениями компонент скоростей в осевой плоскости через функции

Здесь суть длины линейных элементов, соответствующих малым изменениям только переменных соответственно, и можно по обычным формулам определить

кроме того, так как представляет собой аналитическую функцию от то из условий Коши — Римана для переменных и следует, что Если теперь переменные и азимутальный угол (для которого соответствующий параметр А равен а) рассматривать в качестве новых ортогональных криволинейных координат, то выражения операторов и и в этих координатах (см. приложение 2) совместно с равенствами (6.8.27) дают уравнения движения для соответственно. Функция тока оказывается более удобной, чем так как она удовлетворяет более простому соотношению на внутренней границе. Приравнивая нулю азимутальную компоненту завихренности, получаем

или

где переменная а связана с переменными формулой преобразования (6.8.26).

В случае вытянутого эллипсоида, который получается путем вращения эллипса с полуосями вокруг его большой оси, это преобразование имеет вид

причем постоянное значение на эллипсоиде определяется (см. (6.6.13)) уравнением

Условие (6.8.12), которому должна удовлетворять функция на внутренней границе, заключается в том, что при функция тока

Это наводит на мысль, что решение уравнения (6.8.28) можно искать в форме

После подстановки этой функции в уравнение (6.8.28) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции путем его интегрирования и выбора двух постоянных на основании внутреннего и внешнего граничных условий можно получить искомое решение

Чтобы получить течение, вызванное сплюснутым эллипсоидом вращения, движущимся вдоль оси симметрии, нужно начать с преобразования к эллиптическим координатам, определяемого функцией

координата в данном случае постоянна и равна на поверхности эллипсоида, полученного вращением эллипса с полуосями соответственно относительно его малой оси Выражение (6.8.29) для функции тока снова дает решение, соответствующее (поскольку речь идет о зависимости от внутреннему граничному условию, и, действуя таким же способом, как и раньше, мы получаем искомое решение

Теперь можно без труда найти потенциалы скорости, пользуясь любым из двух соотношений

Однако мы не будем приводить их здесь; очевидно, что потенциал скорости пропорционален

Рис. 6.8.2. Линии тока в осевой плоскости (приращения функции тока одинаковы) в случае безвихревого течения, вызванного круговым диском, движущимся по нормали к своей плоскости.

Когда (что эквивалентно оба эллипсоида становятся сферами радиуса а, и можно показать, что оба решения (6.8.30) и (6.8.31) сводятся к уже определенной ранее функции тока (6.8.15) для сферы. Другой предельный случай решения (6.8.31) при дает безвихревое течение, вызванное круговым диском радиуса а, движущимся по нормали к своей плоскости. В этом случае функция тока

а линии тока изображены на рис. 6.8.2. Потенциал скорости на поверхности диска, найденный указанным выше способом сводится к

и поэтому кинетическая энергия жидкости

Таким образом, присоединенная масса диска в направлении его движения равна Скорость жидкости бесконечна на кромке диска, и сильное уменьшение величины скорости после обтекания

кромки делает это безвихревое течение малопригодным для приложения к реальным течениям; однако решения для безвихревого течения имеют обыкновение неожиданно появляться при разных обстоятельствах, и в § 6.10 мы увидим, что это частное решение применимо к движению, возникающему при ударе плоского круглого диска по поверхности воды.