3.5. Теорема Бернулли для установившегося течения невязкой и нетеплопроводной жидкости

Уравнение движения материальной точки массы движущейся под действием силы, которая представляет собой функцию только от координат вида дается соотношением

где радиус-вектор точки, ее скорость. Это соотношение можно проинтегрировать и найти «интеграл энергии»

потенциал силы в этом равенстве определяется как «потенциальная энергия» на единицу массы точки. Условия существования интеграла такого типа состоят в том, что сила, под действием которой движется точка единичной массы, равна пространственному градиенту скалярной функции — и одновременно функция зависит только от координат. Второе требование так часто встречается в динамике точки, что оно обычно принимается как должное.

При определенных условиях существует аналогичный интеграл энергии для отдельных элементов жидкости. Полная действительная энергия (такое название подчеркивает отсутствие в ней потенциальной энергии) на единицу массы элемента жидкости, движущегося со скоростью и, представляет собой сумму кинетической энергии движения элемента как целого и его внутренней энергии Эта полная энергия может изменяться в результате работы, производимой объемными и поверхностными силами, действующими на элемент, и в результате переноса тепла (предполагается, что этот перенос происходит только за счет теплопроводности) через поверхность, ограничивающую элемент, и, как

показано в § 3.4,

Если массовую силу на единицу массы можно представить в форме и если — функция только координат, а не времени, то можно написать

и рассматривать как «потенциальную энергию» поля массовых сил.

Далее, хотя давление действует как нормальное напряжение на поверхность, ограничивающую элемент жидкости, результирующая сила давления на элемент оказывается такой же, как массовая сила на единицу объема, равная Это свидетельствует о том, что при определенных условиях давление может играть роль потенциальной энергии, поскольку речь идет об интегрировании дифференциального уравнения (3.5.1). В правой части уравнения (3.5.1) давление входит в слагаемое

и поэтому в том случае, когда поле давления установившееся, непосредственное влияние давления на энергию элемента жидкости оказывается тем же самым, как если бы он двигался в поле массовой силы с потенциальной энергией на единицу массы. Отметим, что давление, входящее таким образом в уравнение (3.5.1), включает работу, производимую как при сжатии элемента, так и при ускорении его как целого.

Таким образом, если а также если не зависят от времени t, то уравнение энергии (3.5.1) можно написать в виде

причем в качестве выражения для тензора напряжений взято (3.3.11). Если, кроме того, оказывается, что два оставшихся члена в правой части уравнения (3.5.3) равны нулю, то уравнение энергии элемента жидкости можно проинтегрировать, как это было сделано для материальной точки. Тогда мы получаем очень важный результат, состоящий в том, что в движущейся невязкой и нетеплопроводной жидкости с установившимся распределением

давления величина определяемая выражением

имеет одно и то же значение во всех точках траектории жидкого элемента (здесь модуль скорости). Если поле давлений установившееся, то поле скоростей обычно также установившееся и траектория движения элемента жидкости становится линией тока. Используя энергетическую терминологию, можно сказать, что для установившегося движения невязкой и нетеплопроводной жидкости полная энергия на единицу массы постоянна для каждого элемента жидкости, если только эта энергия включает в себя не только кинетическую и внутреннюю энергию, но также и потенциальную энергию, связанную с внешним полем массовых сил и с полем давления. В более общих условиях эта полная энергия элемента жидкости непостоянна обычно вследствие а) вязких напряжений, действующих на границу элемента и совершающих работу при его ускорении (в таком случае изменяется кинетическая энергия) и деформации (в этом случае изменяется внутренняя энергия), б) подвода тепла к элементу или отвода тепла от него и в) нестационарности поля давления, из-за чего связанная с ним потенциальная энергия изменяется независимо от других видов энергии элемента жидкости.

Тот факт, что величина постоянна вдоль линии тока в установившемся движении невязкой нетеплопроводной жидкости, известен как теорема Бернулли; впервые она была установлена Даниилом Бернулли в 1738 г. для частного случая несжимаемой жидкости.

Другой вывод теоремы начинается с прямого вычисления баланса энергии невязкой и нетеплопроводной жидкости, текущей вдоль трубки тока малого поперечного сечения. Если величины представляют собой значения соответствующих величин в том месте трубки тока, где ее поперечное сечение равно то скорость, с которой энергия жидкости (включая обычную потенциальную энергию, связанную с полем внешних массовых сил) переносится через это поперечное сечение, равна

скорость же, с которой нормальная поверхностная сила совершает работу в этом поперечном сечении, есть

Однако в установившемся поле течения энергия жидкости, содержащейся между двумя фиксированными поперечными сечениями трубки тока, постоянна, и ее приращение, возникающее в результате переноса энергии и работы, совершаемой давлением в одном

поперечном сечении, должно полностью компенсироваться теми же величинами в другом поперечном сечении. Таким образом, величина

постоянна вдоль трубки тока, а поскольку поток массы также постоянен, то из написанного выражения очевидно следует теорема Бернулли.

Выше было установлено, что конкретные свойства жидкости, достаточные для справедливости теоремы Бернулли, — нулевые значения коэффициентов вязкости и теплопроводности к — имеют значение для скорости изменения энтропии элемента жидкости. Часто говорят, что необходимым условием для выполнения теоремы Бернулли является полное отсутствие процессов, изменяющих энтропию. Вообще это нестрого, так как запаздывание в установлении механического давления по отношению к изменению внутренней энергии представляет собой процесс с возрастанием энтропии скоростью, определяемой членом выражения (3.4.11), содержащим коэффициент вязкости расширения, который тем не менее не приводит к изменению величины вдоль линии тока в установившемся течении. Однако редко бывает так, что вязкостью сдвига и теплопроводностью жидкости можно пренебречь, учитывая в то же время вязкость расширения, и для практических целей мы можем утверждать, что теорема Бернулли справедлива тогда и только тогда, когда течение изэнтропическое (т. е. ) и установившееся.

Однако ничего еще не было сказано о том, как изменяется постоянная при переходе от одной линии тока к другой в установившемся изэнтропическом течении; более того, нельзя было и рассчитывать на получение каких-либо сведений об этом, поскольку значение для каждой линии тока должно зависеть от того, каким образом возникло течение. Самое большое, на что мы можем надеяться, — это установить определенные зависимости между изменениями величины и энтропии поперек линий тока. Если жидкость всюду имеет один и тот же состав, то каждый элемент жидкости имеет некоторое равновесное состояние, определяемое однозначно двумя независимыми переменными, в качестве которых в данном случае мы возьмем внутреннюю энергию и плотность Тогда разность между значениями энтропии двух элементов в любой момент времени связана соотношением (1.5.8) с соответствующими им значениями внутренней энергии и плотности поэтому в любой точке жидкости

Величина определяемая выражением (3.5.4), также есть функция координат, и равенство (3.5.5) можно записать в другой форме:

Это весьма общее соотношение, если не считать предположения, что Далее, если течение установившееся и изэнтропическое, то уравнение движения (3.3.12) сводится к уравнению

которое с помощью векторного тождества

может быть переписано в виде

Тогда подстановка его в правую часть выражения (3.5.6) дает уравнение

полученное Крокко (1937). Из этого уравнения видно, что

постоянство обеих величин поперек линий тока, как и вдоль них, в установившемся изэнтропическом течении возможно только в том случае, когда всюду или в безвихревом течении), или — что значительно менее вероятно — если векторы всюду параллельны.

Подобно тому как поле течения, в котором энтропия постоянна во всей жидкости, называлось гомоэнтропическим (§ 3.4), так и поле течения, в котором энергия постоянна во всей жидкости, может быть названо гомоэнергетическим. Установившееся течение невязкой и нетеплопроводной жидкости в зависимости от условий может быть гомоэнтропическим или гомоэнергетическим, тем и другим одновременно или негомоэнтропическим и негомоэнергетическим.

Уравнение (3.5.8) показывает, что в случае установившегося гомоэнтропического течения всюду в потоке

Поэтому в данном случае величина постоянна также и вдоль вихревых линий, и поверхности уровня совпадают с пересекающимися семействами линий тока и вихревых линий. Если, кроме того, распределение скоростей безвихревое, то величина имеет одно и то же значение всюду в жидкости.

Отметим теперь еще две формы теоремы Бернулли. В § 1.5 была введена термодинамическая функция I, определяемая выражением

и она была названа энтальпией или теплосодержанием единицы массы жидкости. Следовательно, величина постоянная вдоль линий тока в установившемся изэнтропическом потоке, может быть написана в виде

В течениях газа изменения потенциальной энергии часто значительно меньше, чем изменения величин и I, и тогда приближенный вариант теоремы Бернулли состоит в том, что величина

постоянна вдоль линии тока. В указанных условиях постоянную для какой-либо одной линии тока можно рассматривать как энтальпию торможения, т. е. как величину энтальпии в той точке на линии тока, где или, когда такой точки не существует, как то значение, которое принимала бы энтальпия любого

элемента жидкости на линии тока, если бы он изэнтропически был приведен в состояние покоя.

Другая форма теоремы Бернулли, в которую термодинамическая функция не входит явно и которая содержит только механические величины, может быть получена с использованием второго закона термодинамики (см. (1.5.8)) в виде

Давление можно считать функцией двух параметров состояния и поскольку в изэнтропическом течении то из этого следует, что изменения давления любого элемента жидкости в данном случае полностью определяются изменениями его плотности . В этих условиях из (3.5.12) следует равенство

в котором интегрирование выполняется при постоянной энтропии, а

есть функция только плотности для данного . В таком случае выражение (3.5.4) в сочетании с равенством (3.5.13) показывает, что в установившемся изэнтропическом течении величина

имеет одно и то же значение во всех точках линии тока. Теорема Бернулли в этой форме обычно используется в тех случаях, когда известна изэнтропическая зависимость между давлением и плотностью для жидкости.