ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Выражения для некоторых векторных дифференциальных величин в ортогональных криволинейных координатах

Пусть некоторая система ортогональных криволинейных координат, и пусть единичные векторы с параллельны координатным линиям и направлены в сторону увеличения координат соответственно. Тогда изменение положения вектора х, соответствующее приращениям координат есть

где с и положительные скалярные множители (коэффициенты Ламе) зависят от координат

Тот факт, что три семейства координатных линий образуют ортогональную систему координат, позволяет выписать полезные выражения для производных от Имеем

и еще два других подобных соотношения; поскольку

мы ВИДИМ, ЧТО

есть вектор, нормальный с. Отсюда следует

и еще четыре других подобных соотношения. Таким образом, находим

и еще два других подобных соотношения.

которое в свою очередь также можно рассматривать как результат применения теоремы Стокса к трем ортогональным граням того же параллелепипеда.

Применяя дивергенцию к градиенту, получаем оператор Лапласа, который может действовать как на скалярную величину, так и на векторную,

Компоненты лапласиана могут быть вычислены путем замены У в этом выражении на и использования выражений для производных от однако получающийся результат слишком сложен, чтобы быть полезным. Обычно при нахождении компонент вектора в конкретной системе координат намного удобнее использовать тождество

и полученные выражения для градиента, дивергенции и ротора.

Рассмотрим теперь выражение компонент тензора скоростей деформации через компоненты скорости и производные относительно криволинейной системы координат. Градиент по направлению от компоненты скорости и в фиксированном направлении есть

Диагональные элементы тензора скоростей деформации представляют собой скорости расширения, получающиеся при подстановке а внедиагональные элементы содержат градиенты скорости, для которых тип ортогональны. Из полученного выше выражения для следует, что компонентами тензора скоростей деформации в декартовых координатах, локально параллельных векторам с (которым соответствуют индексы 1, 2, 3), являются

и еще четыре других выражения, получаемых циклической перестановкой индексов. Компоненты тензора напряжений можно получить по компонентам тензора скоростей деформации, используя (для несжимаемой жидкости) соотношение

Теперь компоненты всех членов в уравнении движения жидкости в проекциях на направления с можно получить

простой подстановкой выписанных выше соотношений. Компоненты члена в ускорении находятся из выражения для

Ниже приводятся выражения для некоторых частных систем координат.

Сферические координаты

Системе координат азимутальный угол относительно оси соответствуют

Тогда

Тензор скоростей деформации:

Уравнение движения несжимаемой жидкости в отсутствие внешних массовых сил:

Цилиндрические координаты

Системе координат азимутальный угол относительно оси соответствуют

Тогда

и с не зависят от Далее,

Тензор скоростей деформации:

Уравнение движения несжимаемой жидкости в отсутствие внешних массовых сил:

Полярные координаты

Соответствующие формулы можно получить из формул для цилиндрической системы координат путем отбрасывания всех компонент и производных в направлении координатной линии х. Однако целесообразно выписать их здесь отдельно, поскольку они часто используются. Системе координат соответствуют Тогда

Тензор скоростей деформации:

Уравнение движения несжимаемой жидкости в отсутствие внешних массовых сил: