Уравнения движения в подвижных осях

Если внешняя граница жидкости движется, то может быть удобным выбрать систему координат, по отношению к которой

эта граница будет находиться в состоянии покоя. Тогда ускорение элемента жидкости в подвижной системе координат может отличаться от абсолютного ускорения в ньютоновой (инерциаль-ной) системе отсчета и нужно соответствующим образом видоизменить уравнение движения. Наиболее часто встречаются системы координат, совершающие поступательное или равномерное вращательное движения, однако не составляет особого труда получить выражение для ускорения элемента в системе координат, совершающей произвольное движение. Такое выражение содержится в любом учебнике по механике, но для полноты изложения мы приведем его вывод.

Предположим, что в данный момент времени подвижная система координат вращается с угловой скоростью вокруг точки О, которая в свою очередь движется с ускорением в ньютоновой системе координат. Следовательно, абсолютное ускорение элемента равно сумме

где ускорение этого элемента в движении относительно точки О. Связь между ускорением и относительным ускорением элемента во вращающейся системе координат определяется следующим образом.

Если ( тройка ортогональных единичных векторов, фиксированных в подвижной системе координат, то любой вектор можно записать в виде суммы его компонент

Изменение вектора с течением времени происходит как в результате изменения его проекций в подвижной системе координат, так и в результате изменения единичных векторов к вследствие вращения системы координат вокруг точки тогда скорость изменения вектора для наблюдателя, поступательно движущегося вместе с точкой О, равна

где производная обозначает относительную скорость изменения вектора для наблюдателя во вращающейся системе координат. Это соотношение можно применить сначала к радиусу-вектору у элемента жидкости, проведенному из точки О, а затем к вектору скорости (элемента жидкости относительно системы координат, поступательно движущейся вместе с точкой О); в

результате получим

Производная есть относительное ускорение элемента в системе отсчета, совершающей поступательное и вращательное движения, а относительная скорость элемента в этой же системе координат; скорость изменения вектора конечно, одна и та же как в абсолютной, так и во вращающейся системах координат. Таким образом, абсолютное ускорение элемента равно

Это выражение можно приравнять к локальной силе, действующей на единицу массы жидкости, и получить уравнение движения в подвижной системе координат.

Используя прежнее обозначение скорости эйлерова представления поля течения в подвижной системе координат, имеем

относительные радиус-вектор элемента у и его скорость в выражении (3.2.8) можно заменить на При этом уравнение движения жидкости в подвижной системе координат совпадает по форме с уравнением движения в абсолютной системе, если предположить, что в дополнение к реальным массовой и поверхностной силам на единицу массы элемента жидкости действуют силы инерции

Здесь сила инерции поступательного движения системы, и — поворотная или кориолисова сила, которая перпендикулярна векторам центробежная сила. Остающееся слагаемое не имеет общепринятого названия (иногда оно называется вращательной силой инерции).

Случай осей координат, которые равномерно вращаются относительно абсолютной системы координат и для которых представляет особый интерес и будет рассмотрен в последующих параграфах. В этом случае массовая сила (3.2.9) имеет вид