4.5. Течение с круговыми линиями тока

Другим простым примером движения жидкости оказывается движение, в котором все линии тока представляют собой окружности с центром на общей оси симметрии. Такие движения могут быть установившимися или неустановившимися, и они обычно создаются в жидкости, ограниченной снаружи или изнутри вращающейся твердой поверхностью кругового цилиндра. Если движение остается чисто вращательным с осевой компонентой скорости, равной нулю, то градиент давления в направлении оси должен быть равен нулю и уравнение движения показывает, что для соблюдения этого условия течение должно быть двумерным. Тогда скорость зависит только от расстояния до оси симметрии.

Поскольку компонента ускорения по нормали к линиям тока в течениях подобного типа играет пассивную роль и поскольку все изменения скорости происходят только в результате действия сил трения между соседними цилиндрическими слоями жидкости, такие течения эквивалентны в механическом смысле течению одного направления.

Уравнения (двумерного) движения в полярных координатах приведены в приложении 2; предполагая, что -компонента

скорости есть функция только переменных и что находим

Первое из этих уравнений показывает, что радиальное изменение давления просто дает силу, необходимую для сохранения движения элементов жидкости по круговым траекториям. Второе уравнение представляет собой по существу равенство скорости увеличения момента количества движения цилиндрического слоя жидкости и момента равнодействующей пары сил трения на его внутренней и внешней поверхностях. В этом можно непосредственно убедиться, замечая, что касательное напряжение, действующее на элемент поверхности цилиндра радиуса (см. приложение 2), равно

поэтому момент пары сил, приложенной к жидкости (находящейся внутри цилиндрической поверхности радиуса ) со стороны внешней части жидкости на единицу длины цилиндра, равен

Приравнивая скорость изменения момента количества движения жидкости в цилиндрическом слое (на единицу его длины и единицу толщины) моменту пары сил, действующей на него, получаем

откуда и следует уравнение (4.5.1).

Несколько более простая форма уравнений (4.5.1) или (4.5.3) получается при использовании в качестве зависимой переменной угловой скорости жидкого цилиндрического слоя радиуса Полагая в уравнении мы имеем

Если в качестве зависимой переменной взять величину завихренности

то получится еще одна форма уравнения

Это уравнение совпадает с уравнением теплопроводности в двух измерениях (при наличии осевой симметрии). Исходя из уравнения (4.2.2), можно установить, что в течении одного направления две компоненты завихренности, перпендикулярные к линиям тока, также удовлетворяют уравнению теплопроводности. Таким образом, задачи течений одного направления и течений с круговыми линиями тока можно полностью описать при помощи диффузии компонент завихренности поперек линий тока. В каждом частном случае выбор одного из полученных выше уравнений обычно будет определяться зависимой переменной, которая входит в граничные условия.

Установившиеся движения с круговыми линиями тока должны поддерживаться движением твердых границ, и можно охватить все обычные случаи, предположив, что жидкость находится между твердыми цилиндрами с радиусами которые равномерно вращаются с угловыми скоростями . В таком случае легко найти, что решение как уравнения (4.5.3), так и уравнения (4.5.4) при нулевых левых частях, которое удовлетворяет условию прилипания на обеих границах, определяет скорость

Течение подобного типа можно осуществить в лаборатории с цилиндрами, общая длина которых велика по сравнению с их радиусами; распределение скорости (4.5.7) было подтверждено при различных значениях Вязкость в формулу (4.5.7) не входит, так как равнодействующая пара сил трения, действующих на каждый цилиндрический слой жидкости, равна нулю; в этом отношении установившееся течение с круговыми линиями тока представляет собой аналог течения между параллельными твердыми плоскостями, которые скользят друг относительно друга (и этот случай фактически получается из формулы (4.5.7) при Пользуясь выражением (4.5.2) и решением (4.5.7), находим момент пары сил трения, действующей на единицу длины цилиндрической поверхности радиуса

который, как и ожидалось, не зависит от в частности, пара сил с таким моментом приложена к внутреннему твердому цилиндру, а противоположная по знаку — к внешнему цилиндру.

Из выражения (4.5.7) можно получить распределения скоростей в различных специальных случаях установившегося течения. Полагая (с угловой скоростью не настолько большой, чтобы сделать произведение ненулевым) для течения внутри вращающегося цилиндра, находим

что соответствует вращению жидкости как твердого тела, при котором касательные напряжения всюду равны нулю. Другой предельный случай течения в безграничной жидкости вне одиночного вращающегося цилиндра получается при при этом

Это — распределение скорости безвихревого течения, в котором циркуляция скорости по всем замкнутым кривым, обходящим один раз вокруг цилиндра, равна Момент пары сил трения, приложенной к жидкости со стороны цилиндра единичной длины, равен постоянной что указывает на непрерывное увеличение полного момента количества движения жидкости; это не противоречит предполагаемой стационарности движения, так как полный момент количества движения, связанный с распределением (4.5.10), бесконечен и пара, развиваемая все время цилиндром, нужна для того, чтобы создавать и поддерживать это распределение скоростей на всех расстояниях от цилиндра.

Уравнение (4.5.1) или один из его эквивалентов можно использовать для исследования изменений в течении при начале или остановке вращения кругового цилиндра и последующего приближения его к установившемуся состоянию. В качестве примера рассмотрим движение, возникающее из состояния покоя в жидкости, содержащейся внутри кругового цилиндра радиуса а, который начинает вращаться с постоянной угловой скоростью Условия, которым должна удовлетворять скорость суть

Тот же метод решения, который несколько раз использовался в § 4.3, в применении к уравнению (4.5.1) показывает, что скорость нужно искать в форме ряда по функциям Бесселя первого порядка. Вновь более удобно рассмотреть функцию

так как для всех значений при и при отсутствии каких-либо особенностей на оси вращения при Уравнение для функции такое же, как и уравнение для функции и решение, которое тождественно удовлетворяет этому уравнению и условиям при представляет собой ряд Фурье — Бесселя

где — функция Бесселя первого рода первого порядка, а положительные значения при которых Написанное

выражение будет также удовлетворять начальному условию при если

С помощью стандартных формул находим

Таким образом, получаем распределение скорости

Дольше всех сохраняется первый член ряда и соответственно отклонение от вращения твердого тела очень скоро затухает по экспоненциальному закону с постоянной

Аналогичные, хотя и более сложные решения можно получить для течения, возникающего из состояния покоя в жидкости между двумя круговыми цилиндрами (когда скорость выражается в виде ряда Фурье — Бесселя, содержащего функции Бесселя как первого, так и второго родов), а также для жидкости вне одного кругового цилиндра (когда скорость определяется интегралом Фурье — Бесселя с бесселевыми функциями обоих родов).

Наконец, в качестве случая, для которого более удобно использовать уравнение (4.5.6), рассмотрим течение, в котором в начальный момент времени завихренность равна везде нулю, за исключением оси вдоль которой расположена вихревая нить (см. § 2.6) интенсивности С.

Вначале циркуляция по всем окружностям с центром на этой оси имеет одно и то же значение С и, следовательно, Завихренность в данном случае диффундирует радиально от места ее начальной концентрации на линии, в то время как в обсуждавшемся ранее случае (§ 4.3) завихренность первоначально была сосредоточена на плоскости. С математической точки зрения эта задача распространения (или диффузии) завихренности от вихревой нити идентична двумерной задаче распространения тепла в однородном твердом теле от линии, на которой первоначально было сконцентрировано конечное количество тепла С. Решение

Рис. 4.5.1. Распределение скорости, связанное с влиянием вихревой нити и произведение измерены в соответствующих единицах).

получается непосредственно из решения (4.3.2):

Соответствующее распределение скорости

изображено на рис. 4.5.1 для различных значений При малых значениях жидкость вращается как твердое тело с угловой скоростью больших же значениях движение безвихревое, каким оно и было в начальный момент. Можно установить, что распределение циркуляции скорости по окружностям с центрами в начале координат, т. е. имеет одинаковую форму при всех Это можно предсказать по соображениям размерностей, исходя из того факта, что комбинация безразмерная зависимая переменная, которая может зависеть только от следовательно, должна быть функцией только одного параметра