6.10. Импульсивное движение жидкости

В некоторых обстоятельствах ускорения границ и жидкости имеют большую величину в течение очень короткого промежутка времени, и мы можем рассмотреть предельный случай импульсивного (ударного) изменения, как это делается в задачах механики твердого тела. Массовые силы большой величины непосредственно на жидкость не действуют, однако мгновенное изменение в движении границ будет создавать бесконечно большие градиенты

давления, которые в свою очередь порождают мгновенное изменение скорости каждой точки жидкости. Ни скорость границы, ни скорость жидкости не становятся большими во время такого изменения, поэтому члены в уравнении движения жидкости, содержащие только скорости или их пространственные градиенты, пренебрежимо малы по сравнению с членом Таким образом, приближенная форма уравнения движения (без ограничения на вязкость жидкости!) в процессе мгновенного изменения имеет вид

Эти два остающихся члена уравнения имеют большую величину в течение короткого промежутка времени, и зависимость между скоростью жидкости и сразу перед началом такого изменения и скоростью в той же самой точке сразу после изменения определяется уравнением

где величина

может быть названа импульсом давления. Давление отлично от нуля перед и после импульсивного изменения, однако интервал интегрирования в (6.10.3) мал (он равен продолжительности внезапного изменения), и поэтому предполагается, что начальная и конечная величины давления существенного влияния на значение интеграла не оказывают.

Важное свойство движения, описываемого уравнением (6.10.2), состоит в том, что если распределение скорости в жидкости до начала действия импульса было безвихревым с потенциалом скорости то после импульса оно оказывается также безвихревым (как и следовало ожидать, исходя из того, что условия теоремы Кельвина о циркуляции удовлетворяются в ходе процесса внезапного изменения) с потенциалом скорости

Это соотношение позволяет нам дать физическое объяснение потенциала скорости. Потенциал скорости данного распределения скорости безвихревого течения можно рассматривать как увеличенный в раз импульс давления, требуемый для возникновения данного движения из состояния покоя, или, иначе говоря, как увеличенный в раз импульс давления, требуемый, чтобы перевести это движение в состояние покоя. Никакое вихревое

движение не может возникать из состояния покоя или переходить в состояние покоя под влиянием импульса давления.

Такая же интерпретация потенциала скорости следует из выражения полной кинетической энергии жидкости через интегралы по границам. Мы можем считать, что данное безвихревое движение возникло из состояния покоя под действием импульсивного движения границ; в таком случае средняя (между начальной и конечной) скорость элемента границы равна и работа, совершаемая этим элементом границы против импульсивного давления, развиваемого жидкостью, по обычной формуле механики равна

где нормаль направлена внутрь жидкости. Полная кинетическая энергия представляет собой сумму таких слагаемых от всех частей границы жидкости, включая гипотетическую границу на бесконечности, если жидкость простирается в бесконечность; это учитывалось при выводе формулы (6.2.6).

В частном случае тела, движущегося в жидкости, покоящейся на бесконечности, влияние большого давления, создаваемого в жидкости на поверхности тела с помощью любого мгновенного изменения скорости тела, очевидно, связано с реакцией на ускорение (§ 6.4). Предположим, что поступательная скорость тела быстро изменяется от до причем это изменение сопровождается заменой потенциала скорости жидкости на Тогда компонента импульса силы, действующего на тело в результате такого изменения, равна

где интегрирование проводится по поверхности тела, а обозначения те же, что и в § 6.4. Из выражения (6.4.28) следует, что импульс силы, действующий на тело, как и следовало ожидать, равен Как уже отмечалось в связи с (6.4.29), величина представляет собой импульс, который нужно сообщить твердому телу, чтобы создать из состояния покоя безвихревое течение, соответствующее движению тела со скоростью