Соотношения перехода на жидкой границе

Приведем здесь для дальнейшего использования некоторые соотношения между условиями по обе стороны жидкой поверхности раздела между двумя средами. Многие из этих соотношений сводятся к утверждению, что некоторая локальная величина непрерывна при переходе через поверхность раздела либо вследствие равновесия среды (точного или приближенного), либо вследствие условия сохранения.

Прежде всего имеется в виду чисто кинематическое условие, связанное с тем фактом, что если не возникает разрыв на поверхности раздела, то граница остается жидкой поверхностью для обеих сред. Компонента скорости, направленная локально по нормали к границе, должна быть непрерывной при переходе через границу.

Для двух сред, через поверхность контакта которых возможен перенос тепла и количества движения посредством взаимодействия молекул на границе (оно происходит фактически на всех реальных границах), как температура, так и скорость должны быть непрерывны, когда обе среды находятся в равновесии.

Однако при относительном движении жидкости она не может находиться в точном термодинамическом и механическом равновесии, и нужно узнать, может ли отклонение от равновесия сопровождаться разрывом в температуре или скорости на границе между двумя средами. Как уже говорилось в § 1.6, градиент величины, подобной температуре или скорости, дает некоторую меру локального отклонения от равновесия и при наличии разрыва такой величины должно происходить сильное отклонение от равновесия. Влияние переноса тепла или количества движения, связанное с отклонением от равновесия, способствует выравниванию температуры или скорости, причем этот процесс тем интенсивнее, чем больше величина отклонения. Поэтому можно ожидать, что параметры, к которым применимы соотношения переноса, непрерывны всюду в жидкости в большинстве реальных неравновесных состояний. Молекулярное движение и взаимодействие, вероятно, также эффективны при выравнивании температур или скоростей на поверхности раздела двух различных сред, как и при выравнивании температур или скоростей в двух соседних точках жидкости, и поэтому всюду в жидкости должно установиться приближенное равновесие. Все имеющиеся данные показывают, что при обычных условиях движения жидкостей температура и скорость (как касательная, так и нормальная компоненты) непрерывны при переходе через материальную границу между жидкостью и другой средой.

В частном случае поверхности раздела жидкости и газа также существует возможность переноса массы через границу

Рис. 1.9.4. К выводу соотношения между напряжениями на двух сторонах границы двух жидкостей.

посредством испарения жидкости, в результате которого должно возникнуть приближенное равновесное состояние, характеризуемое не непрерывностью состава среды на поверхности раздела, а скачком от устойчивой жидкой фазы к газу, «насыщенному» паром.

Свойства сохранения, которые связаны с соотношениями переноса, также приводят к граничным условиям, которые легко сформулировать, если отклонения от равновесия малы в смысле § 1.6. Рассмотрим, например, условие сохранения тепла для малого прямого цилиндра, образующие которого параллельны направлению локальной нормали к границе между двумя средами, а основания расположены по одному в каждой среде. Если длину цилиндра взять намного меньше любого его поперечного размера, то условие сохранения тепла требует равенства потоков через его основания, т. е.

в каждой точке границы. Значения коэффициента теплопроводности могут отличаться по обе стороны границы, и равенство (1.9.7) в общем случае означает разрыв градиента температуры при переходе через нее.

Аналогичные соображения применимы к потоку количества движения через границу между двумя средами, хотя здесь необходимо учитывать эффект поверхностного натяжения. Мы еще не получили общего выражения для переноса количества движения в движущейся среде, но можем написать граничное условие через тензор напряжения из § 1.3. Когда длина упомянутого выше цилиндра стремится к нулю, сумма сил, действующих на два основания цилиндра, должна уравновешиваться результирующей сил натяжения, приложенных к цилиндру со стороны поверхности раздела вне цилиндра (рис. 1.9.4). Как уже было показано, эта результирующая сил натяжения эквивалентна (если поверхностное натяжение постоянно) давлению на поверхности раздела в направлении центра кривизны, поэтому граничное условие принимает вид

где радиусы кривизны линий пересечения поверхности раздела любыми двумя ортогональными плоскостями, содержащими

нормаль величины считаются положительными, когда соответствующий центр кривизны расположен по сторону поверхности раздела, в которую направлена нормаль Когда две жидкости неподвижны, тензор напряжений имеет вид — и граничное условие (1.9.8) сводится к более простому соотношению (1.9.2).

В более общих условиях, в которых поверхностное натяжение изменяется вдоль поверхности раздела двух жидкостей из-за неравномерности температуры или (чаще всего) концентрации адсорбируемого вещества на поверхности раздела, имеется касательная компонента результирующей силы, действующей на элемент поверхности раздела вследствие неоднородного поверхностного натяжения. Нетрудно показать, что в этом случае к правой части равенства (1.9.8) нужно добавить где градиент величины у на поверхности раздела. Такая касательная компонента силы на поверхности раздела двух неподвижных жидкостей не может быть уравновешена напряжениями.

Упражнения

(см. скан)

Литература к главе 1

(см. скан)