Рис. 5.15.2. Однородный поток в трубе при внезапном увеличении ее поперечного сечения.
захватывается и смешивается со струей и, наконец, поток снова становится приближенно однородным со скоростью, скажем, 
Подробная картина этого процесса неустановившегося перемешивания сложна и не поддается точному расчету; возникает вопрос: можно ли что-либо сказать об условиях далеко вниз по потоку, не зная течения вблизи места внезапного расширения трубы? Скорость 
определяется законом сохранения массы (снова в предположении постоянной плотности), а следовательно, мы можем найти также и давление 
далеко вниз по потоку, зная давление 
вверх по потоку от места внезапного расширения трубы.
Для этой цели можно использовать интегральную теорему о количестве движения, заметив, что модифицированное давление приближенно постоянно поперек трубы при внезапном ее расширении ввиду отсутствия заметной поперечной скорости жидкости в области расширения; этот факт легко подтверждается непосредственным наблюдением. В качестве контрольной поверхности мы выбираем поверхность, ограниченную поперечными сечениями, отмеченными на рис. 5.15.2 штриховыми линиями, и стенками трубы между этими сечениями; обозначим через поперечное сечение вверх, а через 
вниз по потоку. В области вниз по потоку от места расширения трубы скорость и давление жидкости флуктуируют в результате происходящего там неустановившегося процесса перемешивания, однако флуктуации происходят относительно установившихся средних значений; поэтому мы можем предположить, что соотношение (3.2.3) осреднено по длительному промежутку времени, и получить соотношение между осредненными величинами, подобное (3.2.4). Тем не менее поперечные сечения 
и 
удобнее выбрать вне области флуктуаций, и, таким образом, наличие флуктуаций не будет сказываться в рассматриваемом примере.
Поток количества движения в направлении слева направо (рис. 5.15.2) через контрольную поверхность равен
На участках 
контрольной поверхности напряжения равны нормальным и определяются давлением 
а на участке 
соответственно 
На участках 
и 
стенки трубы
формируются пограничные слои; число Рейнольдса течения предполагается настолько большим, что соответствующие касательные компоненты напряжения становятся пренебрежимо малыми, если их представить в безразмерном виде с использованием величин 
эквивалентно сделанному выше предположению о том, что скорость в трубе остается приближенно постоянной до участка 
Из уравнения количества движения
находится давление однородного течения в области вниз по потоку
Это увеличение давления при внезапном расширении трубы можно сравнить с соответствующей величиной при постепенном увеличении площади ее поперечного сечения от 
до 
. В последнем случае течение всюду установившееся и вязкость оказывает пренебрежимо малое влияние, исключая тонкий слой на стенках трубы, так что мы можем использовать теорему Бернулли для эффективно несжимаемой жидкости (см. (3.5.16)) и найти
где 
модифицированные давления. Таким образом, окончательное давление в трубе при внезапном расширении меньше, чем при постепенном расширении, на величину
Иначе говоря, мы можем утверждать, что при постепенном расширении трубы константа Бернулли не изменяется, в то время как при внезапном расширении происходит вихревое перемешивание течения, сопровождаемое падением константы Бернулли на величину (5.15.4). Из того факта, что константа Бернулли измеряет полную механическую энергию единицы массы жидкости, мы можем заключить, что вихреобразование за счет появления струйного течения при внезапном расширении трубы связано с диссипацией механической энергии (за счет внутреннего трения в жидкости). Подробный механизм диссипации далеко не очевиден, однако теорема о количестве движения позволяет заключить, что полная потеря энергии за счет диссипации в каждом единичном объеме жидкости определяется общими условиями задачи.
Результат (5.15.4) допускает полезное применение к течениям, подобным рассмотренному в первом примере этого параграфа; дело в том, что некоторые виды решеток твердых тел можно представить как периодически расположенные узкие щели, через которые жидкость должна пройти, прежде чем произойдет внезапное расширение сечения. Рассмотрим, например, плоскую твердую
Рис. 5.15.3. Расчет сопротивления перфорированной пластины в однородном потоке.
пластину, в которой высверлены отверстия диаметра, сравнимого с ее толщиной, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 5.15.3). Если такую пластину поместить под прямым углом к установившемуся потоку со скоростью 
то на тыльной стороне пластины жидкость будет вытекать в виде множества струй; эти струи смешиваются с окружающей жидкостью, вовлекаемой в нерегулярное вихревое движение, а в конечном счете снова образуется однородный поток со скоростью 
Таким образом, здесь применим анализ внезапного расширения трубы, и, следовательно, вытекание жидкости из отверстий в плоской пластине сопровождается общим уменьшением константы Бернулли на величину
где а — отношение площади отверстий в пластине к площади пластины. С другой стороны, течение вверх по потоку от пластины и в отверстиях таково, что, как мы уже видели в этой главе, вязкость в нем не играет важной роли (если диаметр отверстий не слишком мал) и, как правило, для него применима теорема Бернулли. Следовательно, величина (5.15.5) равна разности между значением констант Бернулли для областей далеко вверх и далеко вниз по потоку от пластины; но так как скорости потока в обеих этих областях равны 
то величина (5.15.5) равна также разности давлений в них. Таким образом, с учетом (5.15.1) заключаем, что средняя сила сопротивления в расчете на единицу площади пластины также определяется величиной (5.15.5). Этот теоретический результат согласуется с наблюдаемыми перепадами полного давления на таких пластинах.
Можно разработать подобную простую теорию для нахождения силы, действующей на другие виды перфорированных пластин или на решетку цилиндров, либо других тел. Такие теории будут более точными в тех случаях, когда площадь поперечного сечения каждой струи, вытекающей из отверстий в пластине или из решетки, хорошо определена формой границ потока, как это было, например, в рассмотренном выше случае пластины с просверленными отверстиями.
Дальнейшие приложения уравнения количества движения в интегральной форме будут описаны в § 6.3 и 6.8 при обсуждении течений, для которых влиянием вязкости можно пренебречь. В этих случаях теорема о количестве движения позволяет получить полезные результаты наиболее коротким и точным путем; что же касается случаев, подобных рассмотренным в настоящем параграфе, то эффекты вязкости играют в них существенную роль (правда, они могут не появиться в явном виде при использовании теоремы о количестве движения — в этом и состоит ее главное достоинство); непосредственное вычисление поля течения с учетом эффектов вязкости обычно невыполнимо, а применение теоремы о количестве движения, если оно позволяет получить результаты, оказывается весьма ценным.
Очевидно, что иногда можно использовать интегральные соотношения не для количества движения, а для других величин, таких, например, как энергия или момент количества движения; последний особенно удобен при изучении действия насосов, турбин и других машин, имеющих вращающиеся части.
Литература к главе 5
(см. скан)
Упражнения к главе 5
(см. скан)
(рис. 5.15.2). При обычных условиях, когда 
где 
характерный линейный размер поперечного сечения трубы, наблюдается следующая картина. Поток в виде прямой струи втекает в широкий участок трубы (подобно тому, как показано на фото 5.10.2), на боковой поверхности струи развивается нерегулярное вихревое движение, окружающая струю жидкость постепенно
