2.4. Распределение скоростей при заданных скорости расширения и завихренности

Дивергенция и ротор векторной функции координат являются основными дифференциальными операторами векторного анализа, не зависящими от выбора системы координат. Применительно к полю скоростей они дают его локальную скорость расширения (дивергенцию) А и локальную завихренность (ротор) о:

В § 2.3 было показано, что мгновенное относительное перемещение жидкости вблизи любой точки состоит из 1) некоторого изотропного расширения, при котором скорость увеличения объема жидкого элемента на единицу объема равна А, 2) чисто деформационного движения без изменения объема и 3) квазитвердого вращения с угловой скоростью (1/2) о. Очевидно, что значительная часть информации о распределении скоростей в целом обеспечивается распределениями величин А и о) во всей жидкости. Иногда случается, что распределения величин А и о) заданы или могут быть найдены из условий движения жидкости, и тогда полезно проверить аналитически, в какой степени при этом определяется поле скоростей. Поскольку рассматривается относительное движение вблизи некоторой точки, то чисто деформационное движение без изменения объема остается пока неопределенным; однако далее мы увидим, что имеются весьма сильные ограничения, налагаемые на распределение этих чисто деформационных движений по всей жидкости в целом.

Наша задача состоит в том, чтобы построить распределение скорости, дивергенция и ротор которой задаются значениями во всех точках жидкости, а затем (в § 2.7 и последующих) рассмотреть свойства полей скоростей с нулевой скоростью объемного расширения и нулевой завихренностью. Начнем с известного распределения скорости расширения А и определим любую возможную скорость, например , такую, чтобы везде выполнялись соотношения

не касаясь других свойств . Один способ выбора скорости : удовлетворяющей соотношениям (2.4.2), заключается в том, что

можно положить

(Этот выбор, конечно, не произволен; из векторного анализа известно, что при достаточно общих условиях любая векторная функция координат может быть представлена в виде суммы двух векторов и из которых только первый может иметь ненулевую дивергенцию и нулевой ротор.) Известно, что решение уравнения Пуассона (2.4.3) относительно функции есть

где модуль вектора штрих означает значение в точке х, а интеграл берется по объему, занятому жидкостью; заданное распределение А должно, конечно, быть таким, чтобы интеграл в правой части выражения (2.4.4) существовал.

Соответствующее выражение для скорости есть

Скорость в точке х можно формально рассматривать как сумму слагаемых от различных элементов объема жидкости; так, от элемента объема в точке х соответствующее слагаемое равно

Это просто безвихревое распределение скоростей в бесконечной жидкости, которое согласуется с ее объемным потоком через все замкнутые поверхности, содержащие точку х. Поле скоростей (2.4.6) имеет нулевую скорость объемного расширения всюду, за исключением внутренней части элемента объема содержащего точку х, где скорость расширения равна итак, поле скоростей (2.4.5) имеет всюду заданную скорость объемного расширения. Можно сказать, что каждый элемент объема действует как объемный источник в жидкости (в которой других механизмов расширения нет), причем скорость образования жидкости в объеме (интенсивность источника) равна

Предположим теперь, что известно распределение завихренности о (причем всюду и определим возможную скорость, скажем такую, чтобы было

также не касаясь свойств В данном случае естественно положить

и тогда для векторного потенциала получается уравнение

Если окажется, что всюду, то относительно получается уравнение

решение которого

где интеграл, как и прежде, берется по объему, занятому жидкостью. Проверим теперь это решение, чтобы убедиться, действительно ли оно удовлетворяет уравнению Имеем

где интеграл берется по всей границе жидкости. Этот интеграл по поверхности обращается в нуль, когда заданная завихренность имеет нулевую нормальную компоненту в каждой точке границы; так будет, в частности, в случае внешней границы жидкости, которая простирается в бесконечность в любом направлении и находится там в состоянии покоя. Когда в некоторых точках границы жидкости, можно мысленно представить себе, что жидкость и распределение завихренности в ней простираются за пределы действительной границы и что завихренность распределена там таким образом, чтобы создать новую область жидкости с новой границей, на которой Тогда все те линии, касательные к которым всюду параллельны вектору , оказываются замкнутыми и ни одна из них не оканчивается на новой границе. Имеется много способов, с помощью которых распределение завихренности можно продолжить через заданную границу, поскольку задача отыскания соленоидального вектора , такого, что произведение на границе рассматриваемой области принимает заданные значения, недоопределена, но в данный момент выбор конкретного способа несуществен, так как при любом выборе скорости в соответствии с равенствами (2.4.8) и (2.4.10) имеем заданную завихренность во всех точках действительной жидкости. (В качестве одного из возможных способов можно принять в области продолжения; в этом случае определение вектора сводится к задаче, рассматриваемой в § 2.7.)

Принимая, что интеграл по объему в правой части равенства (2.4.10) (и (2.4.11) ниже) берется по всей расширенной области в тех случаях, когда на реальной границе жидкости, из равенств (2.4.8) и (2.4.10) получаем

Скорость можно формально рассматривать как сумму слагаемых от различных элементов объема жидкости; так, слагаемое от элемента равно

Завихренность не может быть постоянной и отличной от нуля внутри элемента объема и равной нулю в окружающей его жидкости, поскольку такое распределение вектора не будет иметь нулевую дивергенцию, так что выражение (2.4.12) в отличие от (2.4.6) дает распределение скоростей, которое само по себе не может существовать.

Существует аналогия между выражением (2.4.11) и формулой электромагнитной теории, которая связывает стационарное объемное распределение электрического тока (вместо там выступает плотность тока) и возникающее под его влиянием магнитное поле. Можно сказать, что подобно тому, как электрический ток порождает в рассматриваемой области пространства магнитное поле (определяемое выражением вида (2.4.11)), так и завихренность порождает распределение скоростей (2.4.11) в окружающей ее жидкости. Термин «порождает» (иногда он заменяется термином «индуцирует») не означает в данном случае наличие механической причины или эффекта; строго говоря, он означает, что выражение (2.4.11) определяет скорость соленоидального течения, ротор которой имеет всюду вполне определенное значение и которая вследствие этого связана с заданным распределением завихренности.

Вывод заключается в том, что если и — скорость поля, совместимого с заданными значениями дивергенции А и завихренности в любой точке жидкости, то разность скоростей где определены формулами (2.4.5) и (2.4.11), будет соленоидальным и безвихревым вектором. Таким образом, можно записать

где вектор, удовлетворяющий двум векторным уравнениям

в любой точке жидкости. Позже будет показано (§ 2.7), что вектор определяется условиями, которые должны быть выполнены на границе жидкости.