Полубесконечные тела

Когда источник и сток на рис. 6.8.3 расположены достаточно далеко друг от друга (точнее говоря, когда линии тока всюду приближенно параллельны оси симметрии, исключая области вблизи источника и стока; соответствующая поверхность тела, определяемая уравнением (6.8.34), аппроксимирует цилиндр со скругленными концами. Определим более подробно течение вблизи передней части тела (это единственная область установившегося обтекания тела с продольной симметрией, которая является безвихревой на практике), предполагая, что источник расположен на бесконечности вниз по потоку и тело имеет полубесконечную длину. Целесообразно совместить начало координат с источником, и тогда

соответственно уравнение, определяющее контур тела, принимает вид

Изменение параметров та приводит только к изменению масштаба течения в целом, и единственная форма тела изображена на рис. 6.8.4. Полный объемный поток от источника на

Рис. 6.8.4. Обтекание полубесконечного тела, полученного путем наложения течения от точечного источника и однородного потока. 1 — контрольная поверхность.

достаточном удалении от него пересекает любое поперечное сечение тела со скоростью так что радиус цилиндрической части тела равен

Очевидно, что радиус цилиндрической части других полубесконечных тел, получаемых из распределения источников и стоков на участке оси симметрии конечной длины с суммарной интенсивностью источников будет равен

Так как в передней части рассмотренных полубесконечных тел существует критическая точка, то можно было бы подумать, что на них в установившемся течении действует ненулевая сила сопротивления. На самом деле это не так, поскольку скорость жидкости на скруглениях тела превосходит и соответствующее падение давления компенсирует его увеличение вблизи критической точки. Независимо от формы закругленной носовой части тела силы давления уравновешиваются, что можно показать с помощью уравнения количества движения в интегральной форме.

В качестве контрольной поверхности выберем часть сферы радиуса с центром, совпадающим с точечным источником, который находится в жидкости (см. рис. 6.8.4), а также участок поверхности тела от его носовой части до пересечения со сферой. Полная сила, действующая в осевом направлении на окруженную контрольной поверхностью жидкость за счет давления на ее сферической части, равна

где компоненты скорости жидкости на сфере, соответственно параллельные и перпендикулярные оси, давление в жидкости далеко от тела, — половина угла раствора конуса с вершиной в источнике, опирающегося на окружность, по которой сфера

пересекает тело, Теперь, если суммарная интенсивность источников на оси, которые порождают разделяющую линию тока (поверхность тела), то при больших имеем

и в пределе при интересующая нас сила равна

Аналогично полный поток количества движения в направлении оси тела через контрольную поверхность есть

Таким образом, сила, действующая на окруженную контрольной поверхностью жидкость, должна быть равна на части поверхности, совпадающей с поверхностью тела. Жидкость действует на тело в направлении своей скорости на бесконечности, а величина силы равна произведению давления на площадь проекции тела на нормальную к его оси плоскость. Эта результирующая сила представляет собой просто нескомпенсированное внешнее давление на одну сторону тела и не имеет никакого динамического значения. Коль скоро речь идет о динамических эффектах, никакой силы со стороны жидкости на полубесконечное тело не действует. Поскольку установившееся течение реальной жидкости около конечных осесимметричных тел при большом числе Рейнольдса ближе к безвихревому вблизи передней половины тела, чем у его кормовой части, то полученный результат, вероятно, более, важен, чем вывод о том, что сопротивление конечного тела в установившемся безвихревом потоке равно нулю.

Упражнение

(см. скан)