Распространение волн во вращающейся жидкости

Мы видели, что любые перемещения частиц жидкости, находящейся во вращении, которые приводят к ненулевому значению расхождения (дивергенции) в поперечной плоскости, сопровождаются появлением сил Кориолиса, стремящихся свести к нулю это расхождение. Поскольку в невязкой жидкости нет диссипации энергии, отсюда следует, что перемещения жидкости такого вида, вызванные в ней в некоторый начальный момент, могут привести к возникновению колебаний. Может случиться, что во вращающейся жидкости будет распространяться волн с различными фазами, соответствующими положительным и отрицательным значениям расхождения в поперечной плоскости. Такую возможность мы можем проанализировать, воспользовавшись решениями уравнений, описывающих движения относительно вращающейся как твердое тело жидкости; эти решения должны быть периодическими по времени и по некоторым координатам.

Рассмотрим сначала простое осесимметричное волновое движение, распространяющееся в направлении оси вращения. Относительно вращающихся осей координат это волновое движение является течением, наложенным на стационарно движущуюся жидкость; таким образом, для простой гармонической волны все параметры течения изменяются по синусоидальному закону во времени с угловой частотой, скажем, (периодом ) и по осевой координате с волновым числом, скажем, а (длиной волны ). Уравнением, описывающим движение относительно вращающихся осей

координат, служит уравнение (7.6.1) в осесимметричной форме; следуя обычному подходу при изучении волновых движений, мы рассмотрим величины отклонений от невозмущенного состояния и сохраним в этом уравнении члены первого порядка малости. Однако нам не нужно проводить подробные выкладки, так как мы можем использовать результаты из предыдущего параграфа. Мы видели, что для любого установившегося осесимметричного течения, в котором функции и зависят от функции тока точно так же, как и в течении с постоянной осевой скоростью и постоянной угловой скоростью функция тока удовлетворяет уравнениям (7.5.15) и (7.5.16); из этого следует, что любое решение уравнения (7.5.16), периодическое по х, можно считать представляющим некоторую прогрессивную волну с произвольной амплитудой, которая распространяется в жидкости с фазовой скоростью в отсутствие волнового движения жидкость вращается как твердое тело.

Таким образом, нам нужно исследовать установившееся течение, описываемое функцией тока (7.5.15), где функция удовлетворяет уравнению (7.5.16) и в случае простой гармонической волны с волновым числом а имеет вид

Уравнение для

где имеет тот же вид, что и уравнение (7.5.17). Подходящим решением этого уравнения будет

где А — произвольная постоянная; имеется еще одно возможное решение, содержащее функцию Бесселя второго рода, которое мы не рассматриваем, поскольку оно дает особенность в распределении скорости на оси симметрии. Итак, мы имеем установившееся течение, описываемое функцией тока

с положительным значением величины и произвольной постоянной А. Как видно из (7.5.14), соответствующая азимутальная компонента скорости равна

В области вдали от оси симметрии осевая и радиальная компоненты скорости становятся постоянными и равными и соответственно; правда, приближаются они к этим значениям довольно

Рис. 7.6.4. Мгновенная картина линий тока движения в проходящей через ось вращения плоскости, представляющая собой простую гармоническую волну, распространяющуюся в осевом направлении с фазовой скоростью и. Значения функции тока соответствуют соотношению (7.6.7) при . (Линии тока для стоячей волны, образующейся при наложении двух таких прогрессивных волн малой амплитуды, имеют такую же форму,

медленно (как ). Из полученного выражения для С видно, что радиальная компонента силы Кориолиса, действующей (во вращающейся системе координат) на каждый элемент жидкой окружности в поперечной плоскости, имеет тот же знак, что и и всегда стремится поддерживать равновесное значение радиуса этой окружности.

То же самое течение, рассматриваемое относительно осей, движущихся в положительном направлении вдоль оси вращения со скоростью определяется функцией тока

мгновенное положение линий тока этого течения показано на рис. 7.6.4; мы имеем здесь простую гармоническую волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси х с фазовой скоростью в жидкости, которая в отсутствие этой волны вращается как твердое тело. Следует отметить, что при выводе выражения для функции тока (7.6.7), представляющей прогрессивную

волну, мы не налагали никаких ограничений на амплитуду волны, так что решение (7.6.7) справедливо не только для малых значений амплитуды А. В этом состоит особое свойство рассматриваемых осесимметричных колебательных движений относительно установившегося вращения жидкости как твердого тела: эти колебания можно представить как установившееся движение относительно некоторых осей, движущихся поступательно вдоль оси вращения жидкости; данное свойство связано с линейностью основного уравнения движения. Таким образом, два колебания, определяемые соотношением вида (7.6.7), могут быть наложены одно на другое без ограничения на величину их амплитуд, если только их фазовые скорости равны по величине и направлению; если же фазовые скорости различны, то наложение колебаний возможно лишь тогда, когда обе амплитуды достаточно малы, чтобы в уравнении (7.6.1) нелинейные члены были пренебрежимо малыми.

Необычное свойство этих осесимметричных волн во вращающейся неограниченной жидкости состоит в том, что волновое число а и угловая частота не зависят друг от друга. Волновое движение, очевидно, не будет определено, пока не заданы следующие четыре величины: а и амплитуда А. Вместо мы можем задать радиальный размер ячейки, прилегающей к оси вращения (см. рис. 7.6.4); для этого заметим, что первый нуль функции есть так что этот радиальный размер равен Однако подходят не все комбинации поскольку при не имеется решений уравнения (7.6.5), которые были бы всюду конечны; следовательно, при заданных допустимые значения а лежат в интервале

В условиях лабораторного эксперимента вращающаяся жидкость обычно ограничена цилиндрической границей, скажем Этим задается граничное условие, согласно которому эта граница должна быть линией тока течения в плоскости, проходящей через ось вращения, или, что эквивалентно, в диапазоне изменения радиуса должно содержаться целое число ячеек. Таким образом, если есть нуль функции то мы требуем выполнения условия

где число ячеек вдоль радиуса цилиндра. Это соотношение можно рассматривать как связь между скоростью волны и волновым числом а для волнового движения с радиальными ячейками, распространяющимися в цилиндрическом сосуде радиусом Групповая скорость, или скорость, с которой распространяется энергия такой волны, представляет собой некоторый вектор, направленный вдоль оси вращения точно так же, как и вектор

фазовой скорости; величина вектора групповой скорости определяется известным соотношением

Таким образом, величина групповой скорости вообще меньше фазовой.

Если жидкость помещена между плоскими границами, нормальными к оси вращения и отстоящими одна от другой на расстояние I, то граничные условия будут удовлетворены путем наложения двух подобных прогрессивных волн, распространяющихся в противоположных направлениях (при подходящем выборе волнового числа). Простое решение, представляющее стоячую волну, получается из (7.6.7) и имеет вид

где частота обозначена через вместо поскольку величину здесь лучше исключить из рассмотрения. Линии тока в произвольный момент времени для функции тока (7.6.10) имеют тот же вид, что и на рис. 7.6.4. Заметим, что амплитуда А должна быть в данном случае малой, так как в противном случае уравнения для возмущенного движения не будут линейными и их решения нельзя будет налагать друг на друга. Условия на двух граничных плоскостях требуют выполнения равенства где положительное целое; если же имеется еще и твердая граница жидкости при то должно выполняться также и условие (7.6.8). Таким образом, мы видим, что собственные частоты малых колебаний вращающейся жидкости, содержащейся внутри кругового цилиндра радиусом а и длиной I, определяются соотношением

Это соотношение, впервые полученное Кельвином (1880), в последнее время привлекает определенный интерес в связи с возможными приложениями в геофизике. Существование простейших форм колебаний (для которых значения близки к наименьшим возможным значениям) можно продемонстрировать экспериментально; формула для частоты таких колебаний подтверждается непосредственно, если на вращающуюся жидкость наложить некоторое колебание и наблюдать появление резонанса при определенных дискретных значениях частоты возбуждения (Фульц (1959)).

Во вращающейся жидкости могут существовать и плоские волны, механизм поддержания которых также обусловлен силами Кориолиса. Причина существования простого, хотя также довольно частного, вида плоской волны связана с тем, что частица жидкости, находящаяся под действием только сил Кориолиса, движется

по круговой траектории в поперечной плоскости. Если в жидкости на бесконечности (модифицированное) давление и скорость относительно вращающихся осей координат первоначально постоянны во всех плоскостях, нормальных к оси вращения, то они будут оставаться постоянными; тогда из уравнения движения (7.6.1) находим для компонент скорости, соответствующих прямоугольным координатам у, z в поперечной плоскости:

Отсюда следует, что жидкая поперечная плоскость движется в целом как твердая пластина по круговой траектории с угловой скоростью Если теперь различные жидкие поперечные плоскости первоначально приведены в движение с распределением скорости

то каждая такая жидкая поперечная плоскость будет двигаться как твердое тело по своей круговой траектории и в последующие моменты времени будет иметь распределение скорости

Таким образом, в направлении оси х как бы распространяется простая гармоническая плоская прогрессивная волна с волновым числом а и фазовой скоростью которая является поперечной и имеет круговую поляризацию. Здесь сказано «как бы распространяется», так как каждая жидкая поперечная плоскость движется независимо и ее движение полностью определено начальными условиями; в нашем случае, как и в известном примере с рядом шаров, которые подвешены на нитках и получают поперечное смещение путем прикосновения к ним пальца, движущегося вдоль ряда, групповая скорость, или скорость распространения энергии колебаний, равна нулю.

Могут существовать плоские волны и более общего вида, волновой вектор которых наклонен под некоторым углом 6 к оси вращения жидкости. Чтобы выяснить это, нужно только наложить на полученное выше волновое движение компоненту угловой скорости вращения, параллельную оси у. В результате появится дополнительная сила Кориолиса, параллельная оси х, которая не будет зависеть от и которая может быть уравновешена некоторым градиентом давления без изменения полученного выше распределения скорости. Таким образом, результирующее поле течения определится формулами

где через теперь обозначена величина вектора полной угловой скорости жидкости. Угловая частота волн равна

где — вектор угловой скорости и волновой вектор; вектор а направлен вдоль оси х в соответствии с соотношением (7.6.13). Известно, что вектор групповой скорости простой гармонической плоской волны равен градиенту частоты по направлению а и, следовательно, имеет вид

Таким образом, энергия колебаний распространяется в направлении, нормальном к а и лежащем в плоскости векторов т. е. в направлении оси у в нашем случае, как это видно из того факта, что, согласно (7.6.13), средние значения величин равны соответственно

Следует отметить, что если векторы не параллельны, то на жидкость будут действовать не только силы Кориолиса, но и градиенты давления, которые несколько изменят простой механизм волнообразования.

Все рассмотренные выше осесимметричные и плоские волны во вращающейся жидкости относятся к так называемым инерционным волнам.