6.2. Общие свойства безвихревого течения

Многие общие кинематические свойства безвихревого течения несжимаемой жидкости уже были указаны в § 2.7-2.10 при обсуждении соленоидальной и безвихревой части произвольного распределения скорости. Результаты, изложенные ниже, дополняют это обсуждение.

Если поле скоростей и безвихревое, то, как объяснялось в § 2.7, можно ввести потенциал скорости а именно

тогда из уравнения сохранения массы для несжимаемой жидкости следует, что

Хотя уравнение движения (6.1.2) нелинейно относительно и, распределение скоростей безвихревого потока полностью определяется линейным уравнением, соответствующим дополнительному условию (6.2.1) и уравнению сохранения массы. Эта линейность представляет собой характерное свойство безвихревого течения, которое позволяет применить многие мощные математические методы. Нелинейное уравнение движения нужно только для расчета давления, после того как будет определено распределение скорости; как мы увидим, уравнение движения можно проинтегрировать и найти явное выражение для давления.

Поскольку уравнение (6.2.2) линейно, то путем наложения различных решений для потенциала скорости можно построить новое решение. Соответствующее распределение скоростей также находится путем суперпозиции, однако этого нельзя сделать для распределения давлений из-за нелинейной зависимости от .

В частности, можно построить новые безвихревые поля путем наложения потенциалов скорости, связанных (см. § 2.5 и 2.6) с некоторыми сингулярными распределениями дивергенции и завихренности (такими, что Дню равны нулю всюду, кроме одной точки, линии или поверхности, где они имеют бесконечную величину). Как было установлено, в случае точечной или линейной особенностей в распределении «индуцированная» скорость в точке х неограниченно возрастает при приближении х к данной точке или линии; очевидно, что это справедливо и для полной величины индуцированной скорости, связанной с несколькими наложенными сингулярными распределениями Дно. Так, например, распределение скорости безвихревого течения, связанное с точечным источником интенсивности в точке х и точечным источником интенсивности в точке вычисляется по формуле

где основной вклад в это поле скоростей вносит источник интенсивности когда х близка к х, и источник интенсивности когда х близка к

Точечные или линейные особенности в распределениях рассмотренные в § 2.5 и 2.6, приводят к особенности потенциала скорости на границе области соленоидального безвихревого течения. Например, если точечный источник интенсивности расположен в точке х, то область соленоидального безвихревого течения не включает эту точку и ее нужно рассматривать окруженной замкнутой поверхностью, объемный поток через которую известен; поскольку же скорость вблизи х определяется главным образом индуцированной скоростью от источника в точке х, то граничное условие состоит в том, что во всех точках х на замкнутой поверхности бесконечно малых линейных размеров, окружающей точку х, должно быть

где Аналогично для диполя источников интенсивности соответствующее условие на границе области соленоидального безвихревого течения (см. (2.5.3))

выполняется во всех точках х замкнутой поверхности бесконечно малых линейных размеров, окружающей диполь в точке х. Согласно известному общему свойству дифференциального уравнения (6.2.2), потенциал скорости и все его производные по х конечны и непрерывны во всех внутренних точках области соленоидального безвихревого течения.

Условия, при которых существует не более одного решения для скорости были указаны в § 2.7-2.10. Наиболее важный из полученных результатов состоит в том, что в односвязной области течения, которая может простираться в бесконечность во всех направлениях, если жидкость находится там в состоянии покоя, решение определяется единственным образом при заданной величине нормальной компоненты скорости и во всех точках границы. Единственность решения для односвязной области обеспечивается также, если задана величина во всех точках границы, а когда жидкость простирается до бесконечности и находится там в состоянии покоя, то еще должен быть известен ее полный объемный поток через внутреннюю границу. Если область соленоидального безвихревого течения не односвязна, то к упомянутым условиям единственности решения нужно добавить условия нахождения циклических постоянных течения.