Течение без отрыва пограничного слоя

Сначала рассмотрим относительно простой случай, когда форма и положение в жидкости тела таковы, что в установившемся состоянии отрыва пограничного слоя не происходит. Различные линии тока, лежащие вблизи поверхности тела, следуют от некоторой точки (или точек) на передней части тела до некоторой точки (или точек) на кормовой части тела, где пограничный слой сходит с поверхности тела и становится «следом», толщина которого вблизи тела того же порядка, что и толщина пограничного слоя. Такое безотрывное обтекание может осуществляться лишь тогда, когда (как было показано в § 5.10) полное падение скорости

жидкости на внешней границе пограничного слоя мало. В частности, на кормовой части тела внешний поток не должен иметь критической точки, а для выполнения этого поверхность тела (двумерного или трехмерного) должна иметь острую кормовую кромку. Тело должно быть тонким и должно располагаться примерно по направлению потока на бесконечности, так как в противном случае будут иметь место заметные максимумы скорости на боковых сторонах тела с последующим большим уменьшением скорости внешнего потока в направлении к кормовой части тела.

На фото 5.11.1 показана картина обтекания профиля крыла (такие профили обычно используются в авиации); для визуализации потока использовались мельчайшие частицы, переносимые вместе с жидкостью, и короткая выдержка при фотографировании; пограничный слой на фото едва различим в виде коротких черточек на кормовой части тела. (Установившийся пограничный слой с небольшим замедлением основного потока, подобный пограничному слою на верхней части профиля (см. фото 5.11.1), обычно неустойчив и превращается в турбулентный слой; турбулентные пограничные слои менее подвержены отрыву, поскольку поперечные пульсации жидкости могут передавать количество движения от внешних слоев жидкости к медленно движущимся слоям у стенки, однако при определении отрыва турбулентного пограничного слоя качественно применимы те же самые общие соображения, что и для ламинарного слоя.)

В случае безотрывного обтекания возникающая на поверхности тела завихренность остается локализованной в тонком прилегающем к поверхности тела слое и в тонком следе, в котором завихренность переносится далеко вниз по потоку. Толщина пограничного слоя, как ламинарного, так и турбулентного, отнесенная к длине тела, уменьшается до нулях) при стремлении числа Рейнольдса потока к бесконечности, причем для ламинарного слоя эта толщина стремится к нулевому значению быстрее. Следовательно, в пределе при бесконечном числе Рейнольдса течение всюду будет эффективно невязким и безвихревым, за исключением некоторых поверхностей тока, которые мы будем считать особыми, ибо касательная компонента скорости претерпевает разрыв при переходе через такие поверхности. Одна из них — поверхность тела (предельная форма пограничного слоя), а другая — поверхность, содержащая все линии тока, которые отходят вниз по потоку от точки (или точек) отрыва на кормовой части тела (это предельная форма следа за телом). Лишь в окрестности этих особых поверхностей градиент завихренности велик настолько,

что при большом числе Рейнольдса эффекты вязкости становятся заметными.

В случае двумерного тела или цилиндра направление скорости жидкости должно быть непрерывным при переходе через особую поверхность, совпадающую с линией тока, которая идет вниз по потоку от точки отрыва на кормовой части тела; давление жидкости при переходе через эту поверхность, очевидно, непрерывно, а по теореме Бернулли (течение установившееся) заключаем, что непрерывна и величина скорости, так как линии тока по обе стороны от этой поверхности приходят из области далеко вверх по потоку, где условия однородны, и имеют одну и ту же константу в уравнении Бернулли. Эта особая поверхность, простирающаяся вниз по потоку, в данном случае является вырожденной, так как при переходе через нее все параметры течения непрерывны; константа Бернулли и величина скорости справа от особой поверхности меньше, чем где-либо еще; это в сущности и все, что остается от следа при бесконечном числе Рейнольдса, однако эта особенность не оказывает влияния на течение. Следовательно, мы можем рассчитать безвихревое течение, не учитывая существования особых поверхностей в жидкости. Пока не задана циркуляция вокруг цилиндра, безвихревое течение определяется, конечно, не единственным образом (§ 2.10). Наблюдения показывают, что имеется лишь одно значение этой циркуляции, при котором возможно установившееся (или статистически установившееся для турбулентного режима) течение в пограничном слое, а именно то значение, для которого кормовая критическая точка не лежит ни на верхней, ни на нижней частях поверхности двумерного тела и для которого вследствие этого жидкость с верхней и нижней частей тела сходит по касательной к заостренной кормовой кромке; более подробное обсуждение этого важного вопроса по определению циркуляции будет дано в § 6.7 при рассмотрении подъемной силы крыльев.

В случае трехмерных тел указанная выше особая поверхность тока, содержащая все линии тока, которые идут вниз по потоку от точек отрыва на теле, может оказаться не столь безобидной. В этом случае она может переносить возникающую на поверхности тела завихренность с ненулевой компонентой в локальном направлении течения, и это всегда происходит в действительности, когда на тело действует подъемная или боковая сила; в этих случаях имеет место скачок направления скорости при переходе через особую поверхность. Возникновение подъемной силы на теле требует специального рассмотрения, которое будет дано вкратце в § 7.8; здесь же нам достаточно отметить, что по заданной форме тела можно определить характер скачка направления скорости, и тем самым в принципе мы можем найти все безвихревые обтекания (правда, при этом могут возникнуть практически

непреодолимые трудности). Если на тело не действует подъемная сила, то на нем обычно не порождается завихренность, направленная вдоль потока, направление скорости жидкости при переходе через особую поверхность непрерывно, а особая поверхность имеет тот же вырожденный вид, что и для двумерного тела.

Таким образом, для всех тел, на которых не происходит отрыв, по заданной форме тела приближенно определяются безвихревое течение вне тела, тонкий пограничный слой и след позади тела (точность определения увеличивается с увеличением числа Рейнольдса, поскольку при использовании условия равенства нулю нормальной скорости на внутренней границе области безвихревого течения наличие пограничного слоя не учитывается). Некоторые аналитические методы для нахождения этого безвихревого течения будут изложены в гл. 6.

Если распределение скорости безвихревого течения на внешней границе пограничного слоя известно, то путем численного интегрирования уравнения пограничного слоя (см. § 5.9) можно вычислить касательное напряжение в каждой точке поверхности тела. Вводя безразмерные переменные пограничного слоя, как это сделано в § 5.9, и интегрируя компоненту этой поверхностной силы в направлении потока по поверхности тела, мы находим, что для двумерного тела длины обтекаемого потоком со скоростью полное сопротивление трения на единицу ширины тела по нормали к плоскости течения равно

где коэффициент к зависит только от формы тела, Для трехмерных тел имеется аналогичная формула, в которую вместо в (5.11.1) входит некоторая характерная площадь.

Для хорошообтекаемых тел изменения скорости внешнего потока довольно незначительны (исключая область вблизи передней критической точки, где происходит быстрое ускорение потока), так что развитие пограничного слоя на двумерном теле не сильно отличается от соответствующего развития для плоской полубесконечной пластины при том же числе Рейнольдса, основанном на длине вдоль поверхности тела; формула (5.8.8) для плоской пластины дает значение в (5.11.1). Наблюдения показывают, что значение коэффициента к для двумерных тел малой толщины близко к 1,33 при условии, что число Рейнольдса не превышает некоторой величины; с увеличением толщины тела коэффициент к увеличивается; это увеличение частично происходит потому, что скорость на внешней границе пограничного слоя для большинства поверхностей превосходит значение на величину, которая возрастает с толщиной тела. Если число Рейнольдса, основанное на местной толщине пограничного слоя, превосходит определенное значение (для случая плоской пластины равное

«600), то, как было отмечено в § 5.8, течение в пограничном слое становится турбулентным и касательное напряжение на стенке значительно увеличивается.

Характер распределения скорости в пограничном слое на кормовой части тела, где происходит замедление внешнего потока, наиболее благоприятен для появления неустойчивости течения. Следовательно, увеличение толщины тонкого тела при заданном числе Рейнольдса и сопутствующее замедление внешнего потока могут быть причиной более раннего перехода к турбулентному режиму, что снова приводит к увеличению сопротивления трения.

В пределе при бесконечном числе Рейнольдса, когда толщина пограничного слоя и толщина следа равны нулю, тело имеет нулевое сопротивление формы, соответствующее полностью безвихревому потоку. При конечном значении числа Рейнольдса существование тонкого пограничного слоя и тонкого следа оказывает малое влияние на форму окружающего тело безвихревого потока и в соответствии с этим — малое влияние на распределение давления по поверхности тела. Линии тока безвихревого потока смещаются в боковом направлении по отношению к телу и к пограничному слою, а толщина пограничного слоя обычно увеличивается от передней кромки к кормовой; следовательно, можно ожидать, что увеличение скорости и падение давления на тех сторонах тела, где линии тока сгущаются, будет более заметно на кормовой части тела при наличии пограничного слоя, чем при его отсутствии; более сильное падение давления на кормовой части служит причиной того, что полное сопротивление тела под действием нормальных напряжений оказывается ненулевым и положительным. Давление в произвольной точке на поверхности тела отличается от соответствующего значения в полностью безвихревом потоке на величину, которая, очевидно, пропорциональна толщине вытеснения пограничного слоя, и, таким образом, сопротивление формы, как и сопротивление трения, пропорционально Величина сопротивления формы зависит от формы тела; для плоской пластины при нулевом угле атаки она равна нулю, и обычно, чем толще тело, тем сопротивление формы больше; в случае безотрывного обтекания оно, как правило, значительно мепыне сопротивления трения.

На рис. 5.11.2 показана экспериментальная зависимость полного сопротивления и сопротивления формы от толщины тела для типичного семейства двумерных профилей крыльев при нулевом угле атаки (эти профили по практическим соображениям имеют кормовую часть в виде тонкого клина); толщина некоторых из этих профилей настолько велика, что пограничный слой, конечно, отрывается. Ясно также, что для более толстых профилей течение в пограничном слое на участке поверхности вблизи кормового среза было турбулентным

Рис. 5.11.2. Наблюдаемые экспериментально значения полного сопротивления и сопротивления формы для семейства симметричных профилей, подобных показанному на рисунке и расположенных в потоке под нулевым углом атаки; (Фейдж, Фокнер и Уолкер (1929)). 1 — значение для ламинарного обтекания плоской пластины; 2 — сопротивление формы; 3 — полное сопротивление; 4 — показанные симметричный профиль и круговой цилиндр имеют одно и то же полное сопротивление при равных скоростях обтекания.

Из энергетических соображений следует, что малое сопротивление при установившемся обтекании тонких тел должно сопровождаться соответствующей диссипацией кинетической энергии за счет вязких напряжений в жидкости. При больших значениях числа Рейнольдса пограничный слой на теле длины имеет толщину порядка так что градиенты скорости в пограничном слое имеют порядок Таким образом, скорость диссипации энергии на единицу объема в пограничном слое имеет порядок а полная скорость диссипации энергии в пограничном слое на единицу площади поверхности тела имеет порядок

(Имеется еще вклад в полную диссипацию от следа за телом, но он меньше, так как в той части течения, где условие прилипания не должно выполняться, градиенты скорости быстро уменьшаются; что касается вклада от области безвихревого течения, то он пренебрежимо мал, поскольку он изменяется линейно по следовательно, пропорционален Эта оценка для скорости диссипации совпадает с той, которая получается при определении величины работы, совершаемой телом (движущимся со скоростью

для преодоления полного сопротивления порядка на единицу площади поверхности тела (ср. (5.11.1)).