Вихревая пелена

На практике также встречаются случаи, в которых величина завихренности велика всюду в окрестности некоторой поверхности в жидкости (которая, кроме того, должна быть поверхностью, на которой расположены вихревые линии например, в полях течения вокруг крыльев самолета и других несущих тел (§ 7.8) и при некоторых движениях плохообтекаемых тел (§ 5.11). Очевидно, что локальные свойства такой поверхности с концентрацией завихренности определяются вектором

где расстояние по нормали к поверхности, а интеграл берется по малой области содержащей эту поверхность. Если теперь предположить, что а интеграл остается постоянным и равным вектору то приходим к понятию вихревой пелены, характеризуемой (локально) параметром Интенсивность вихревой трубки, которая заключает в себе узкую полоску пелены, параллельной вектору равна на единицу ширины полоски, и величину можно назвать интенсивностью (вихревой плотностью) пелены.

Если завихренность равна нулю всюду, за исключением заданной вихревой пелены, то распределение скорости (2.4.11), связанное с этой завихренностью, имеет вид

где как и раньше, а интеграл берется по площади пелены. В простом частном случае одиночной плоской вихревой пелены, на которой вектор постоянен, имеем

где — единичная нормаль к пелене, направленная в ту сторону, с которой находится точка х. Следовательно, скорость жидкости, вызванная вихревой пеленой, постоянна, имеет противоположные знаки по обе стороны от пелены, равна по величине и направлена параллельно пелене и перпендикулярно вектору Этот результат можно также получить с точностью до числового коэффициента, исходя из того, что данным распределением завихренности не предусматривается никакой масштаб

Рис. 2.6.3. К расчету соленоидального распределения скорости в течении, создаваемом цилиндрической вихревой пеленой.

длины и что параметр определяющий постоянную интенсивность пелены, имеет размерность скорости.

Аналогичный вывод справедлив для вихревой пелены в виде цилиндра произвольного поперечного сечения, интенсивность которого постоянна, а вектор направлен всюду под прямым углом к образующим цилиндра (так что все вихревые линии представляют собой одинаковые плоские кривые, обходящие вокруг цилиндра). Интеграл (2.6.8) преобразуется к виду

где элемент длины образующей и векторный элемент длины вихревой линии в точке х. Компонента вектора параллельная образующим, не дает результирующего слагаемого в величину интеграла по переменной (ввиду нечетности подинтегрального выражения), поэтому

где проекция вектора на плоскость поперечного сечения цилиндра (рис. 2.6.3), а угол, стягиваемый в точке х элементом в плоскости поперечного сечения, и поэтому очевидно, что в любой точке х внутри цилиндра вектор скорости параллелен образующим и имеет одинаковую величину в то время как в любой точке х вне цилиндра вектор скорости равен нулю. Таким образом, вихревая пелена постоянной

Рис. 2.6.4. Малый элемент неоднородной вихревой пелены.

интенсивности снова разделяет две области, в каждой из которых связанная с ней скорость постоянна.

В этих двух случаях, в которых интенсивность вихрей постоянна, видно, что на пелене происходит разрыв компоненты скорости параллельной пелене и перпендикулярной вектору причем величина разрыва равна Можно показать, что это справедливо для любой вихревой пелены, даже если интенсивность не постоянна, причем тогда соотношение между вектором и скачком скорости будет локальным. Рассмотрим циркуляцию по контуру в виде малого прямоугольника с двумя противоположными сторонами и которые расположены по обе стороны от вихревой пелены, параллельны пелене и перпендикулярны вектору (рис. 2.6.4). Можно предположить, что вихревая пелена плоская и вектор приближенно постоянен на отрезке, отсекаемом прямоугольником на пелене, а вектор скорости также постоянен на прямоугольнике по каждую сторону пелены, где распределение завихренности имеет особенность. Тогда добавок к величине контурного интеграла на отрезке взаимно уничтожается с соответствующим добавком, возникающим на отрезке (с ошибкой второго порядка малости относительно линейных размеров прямоугольника), а добавок от отрезка взаимно уничтожается с добавком на отрезке так что общее соотношение (2.6.2) дает

Таким образом, компонента вектора скорости, параллельная пелене и перпендикулярная при переходе через пелену претерпевает разрыв, величина которого равна Такое же рассуждение для прямоугольника со сторонами параллельными вектору показывает, что компонента вектора скорости параллельная вектору циркуляции не претерпевает разрыва; не может быть также разрыва компоненты вектора скорости нормальной к пелене, ввиду требования Поэтому скачок скорости возникающий при переходе через пелену в направлении нормали можно записать как

Таким образом, локальный скачок скорости будет таким же, как если бы вся пелена была плоской с постоянной интенсивностью вихрей, равной ее локальному значению Когда пелена плоская и интенсивность вихрей постоянна, вектор скорости просто изменяет направление при переходе через пелену, однако в общем случае это не справедливо.