7.2. Течение неограниченной жидкости, покоящейся на бесконечности

Течения неограниченной жидкости при отсутствии внутренних границ представляют особый интерес в теории движения невязкой жидкости, поскольку в этих случаях не проявляются характерные эффекты вязкости, которые возникают вблизи твердых границ и обычно служат помехой при установлении соответствия с течением реальных жидкостей. Мы здесь не будем развивать теорию безвихревого движения невязкой жидкости, так как единственным решением, совместным с условием нулевой скорости на бесконечности, является состояние покоя всей жидкости. Однако в том случае, когда в покоящуюся на бесконечности жидкость погружена ограниченная область завихренной жидкости, возникает много интересных задач; по-видимому, лучшим из известных примеров может служить «вихревое кольцо». Сначала мы рассмотрим более близкий к реальности трехмерный случай, а обсуждение специальных свойств двумерного течения отложим до следующего параграфа.

В данных условиях применимы некоторые из кинематических результатов § 2.9. Так, скорость несжимаемой жидкости, связанная с распределением завихренности задается выражением

(7.1.1) при в случае покоящейся на бесконечности жидкости, не имеющей внешних и внутренних границ; как мы установили в § 2.9, асимптотически при имеем

здесь интеграл берется по всему объему жидкости. Это выражение можно записать и в другой форме (см. (2.9.4) и (2.9.5)), а именно где

при Это асимптотическое выражение для и справедливо при условии, что имеет порядок меньше чем при больших значениях и представляет собой распределение скорости безвихревого течения, вызванного либо отдельной замкнутой вихревой нитью малого линейного размера, либо диполем источников, помещенным в начале координат.

Результирующий импульс сил, требуемый для возникновения движения

Как мы сейчас увидим, величина интеграла из (7.2.1) имеет динамический смысл. Размерности величин в интеграле наводят на мысль рассмотреть полное количество движения в жидкости; однако величина скорости уменьшается только как при и мы сталкиваемся здесь с той же самой трудностью, что и в случае безвихревого течения, обусловленного поступательным движением твердого тела (см. § 6.4); она состоит в том, что интеграл в общем случае сходится не абсолютно, а, оказывается, зависит от пути, по которому объем интегрирования может стремиться к бесконечности. В этой ситуации следует поступить иначе. Если в § 6.4 мы определяли величину импульса, который должен быть приложен к твердому телу, чтобы вызвать движение жидкости из состояния покоя, то здесь мы вычислим результирующую величину распределенного импульса, который должен быть приложен к ограниченной области жидкости, чтобы вызвать заданное движение из состояния покоя. Этот результирующий импульс снова будем называть импульсом жидкости поля течения и обозначим

Если два распределения скорости, для которых значения интеграла равны, то непосредственно можно

заключить, что движение с распределением скорости является таким, для которого полное количество движения жидкости равно нулю. Обозначим теперь через V некоторый объем жидкости, ограниченный замкнутой поверхностью А с единичной внешней нормалью тогда

а поскольку разность между как видно из (7.2.2), должна быть по порядку меньше чем при больших значениях то интеграл по поверхности в выписанном соотношении стремится к нулю при неограниченном расширении поверхности во всех направлениях. Импульс жидкости при распределении скорости также равен нулю, так как он совпадает с полным количеством движения, если интеграл полного количества движения сходится абсолютно. Поскольку линейный функционал от и, а также то из этого следует, во-первых, что все поля течений для которых значения интеграла равны, имеют один и тот же импульс жидкости, а во-вторых, что

Для нахождения коэффициента пропорциональности выберем некоторую длину настолько большой, чтобы при распределение скорости (7.2.1) выполнялось точно, и определим вклады в от двух областей жидкости, задаваемых неравенствами Полное количество движения жидкости в области равно

а так как (7.2.2) выполняется на сферической поверхности А, то

Полное количество движения во внутренней области равно, таким образом, Эта часть не зависит от и мы могли бы, устремляя к бесконечности, попытаться заключить, что внешняя область не создает дополнительного вклада в Однако такая попытка была бы ошибочной в силу отсутствия абсолютной сходимости интеграла Асимптотическая форма распределения скорости (7.2.1) имеет тот же вид, что и в случае течения, обусловленного движением твердой сферы радиуса со скоростью

U (см. (6.8.13)), причем

отсюда следует, между прочим, что полное количество движения во внутренней области было бы тем же самым, если бы вся жидкость внутри сферы радиуса двигалась со скоростью определяемой из (7.2.4). Следовательно, внешняя область создает часть равную импульсу жидкости при движении твердой сферы радиуса со скоростью определяемой соотношением (7.2.4); с учетом (6.4.29) и (6.8.18) эта часть равна

Сумма двух найденных частей

где интеграл берется по всему объему жидкости.

Мы можем также доказать, что, как и предполагалось, это выражение результирующего импульса, который требуется для создания движения жидкости из состояния покоя, не зависит от времени, даже если течение неустановившееся. В самом деле, из (7.1.5) имеем

Из раскрытия подинтегрального выражения (проще использовать второе равенство) следует, что оно равно сумме и нескольких членов, содержащих производные; последние приводят к интегралам по поверхности, которые обращаются в нуль ввиду малости на бесконечности. Таким образом, имеем

полученный интеграл по объему также можно преобразовать в интеграл по поверхности, равный нулю ввиду установленной малости скорости жидкости вдали от начала координат.

Можно еще показать, что результирующий момент (относительно начала координат) распределенного импульса, который должен быть приложен к жидкости для создания движения из состояния покоя, равен

и что он является вторым инвариантом возникающего движения.