Профили, получаемые преобразованием окружности

Определение безвихревого течения при поступательном движении тонкого профиля с острой кромкой, полученного путем преобразования окружности, является хорошим упражнением для общего метода, описанного в конце § 6.5. На начальном этапе

Рис. 6.7.7. Схема к получению профиля из окружности с помощью конформного отображения.

развития аэронавтики отдавалось предпочтение профилям, для которых соответствующие характеристики течения (в частности, распределение давления на крыле) могут быть получены аналитически; теперь же имеется много других путей получения нужных сведений и больше нет каких-либо оснований для выбора именно таких профилей. Простой метод, который будет здесь описан, с практической точки зрения имеет тот недостаток, что он не прямой, т. е. дает профили специального вида с известными характеристиками течения, но не позволяет рассчитать характеристики профиля заданной формы.

Отличительной чертой профиля является его острая кромка, относительно которой будем считать, что она является точкой возврата кривой. Наклон касательной к поверхности профиля претерпевает разрыв на острой кромке, и замкнутая кривая с таким свойством в плоскости z может соответствовать окружности в плоскости только в том случае, когда преобразование имеет особенность в точке в которой расположена острая кромка. В этой точке преобразование должно переводить внешний угол между двумя сторонами кромки в плоскости z в угол в соответствующей точке плоскости а для этого, как объяснялось в § 6.5 в связи с преобразованием пересекающихся прямых в одну прямую, требуется, чтобы между существовала аналитическая зависимость

(В случае острой кромки в форме клина с внутренним углом раствора степень разности в правой части будет Поэтому можно написать

где функция конечна и отлична от нуля в точке и в любой точке поверхности профиля, если только нет второй

острой кромки, и в любой точке плоскости z вне профиля (так как особенности не могут возникать внутри жидкости).

Первый шаг преобразования схематически показан на рис. 6.7.7. На этом этапе положение кривой с точкой возврата (профиля) задано произвольным углом с осью х. Таким образом, аргумент точек верхней поверхности профиля в окрестности его кромки равен 20, а аргумент точек нижней поверхности при подходе к ним извне профиля равен ( Очевидно, что аргумент точек на окружности в плоскости соответствующих точкам верхней поверхности профиля вблизи острой кромки, с учетом выражения (6.7.5) должен быть равен Мы можем выбрать функцию мнимой, и тогда аргумент разности (С — центр окружности) равен просто как изображено на рис. 6.7.7. Радиус окружности в плоскости соответствующий профилю в плоскости был принят равным с. Кроме того, как было объяснено в § 6.5, зависимость между должна быть такой, что при чтобы в обеих плоскостях скорость на бесконечности была равна

Хотя это может показаться странным, но всего сказанного вполне достаточно, чтобы определить зависимость циркуляции, требуемой по гипотезе Жуковского, а затем и зависимость подъемной силы профиля от направления скорости жидкости на бесконечности (которое составляет с осью х, как и в § 6.6, угол Комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра в плоскости с произвольной циркуляцией определяется выражением (6.5.18), и комплексная скорость жидкости в произвольной точке плоскости z равна

На кромке профиля модуль производной обращается в бесконечность и, следовательно, обращается в бесконечность и если только циркуляция не равна такой величине, что имеет в точке нуль достаточно высокого порядка. Таким образом, по гипотезе Жуковского требуется циркуляцию х выбрать так, чтобы критическая точка находилась в точке поверхности кругового цилиндра в потоке на плоскости и уравнение, определяющее х, имеет вид

Тогда, поскольку

получаем

Теперь мы можем проверить, что скорость на кромке в плоскости z действительно конечна, если циркуляция х принимает полученное значение, замечая на основании (6.5.18), что вблизи точки комплексный потенциал

Кроме того, вблизи точки имеем

так что предел

принимает конечное ненулевое значение. Читатель может сам проверить, что конечная скорость на кромке плоской пластины, определяемая по формуле (6.7.2), и скорость, полученная в результате преобразования (6.6.7), находятся в соответствии с общим выражением (6.7.8).

Боковая (или подъемная) сила (на единицу длины по нормали к плоскости движения) профиля с тонкой кормовой кромкой (рис. 6.7.7) равна

Пропорциональность подъемной силы величине можно было ожидать по соображениям размерностей, так как единственный определяющий параметр, содержащий размерность массы, единственный параметр, содержащий размерность времени (в циркуляцию х тоже входит время, но она сама по гипотезе Жуковского определяется через Кроме того, в правую часть равенства (6.7.9) должна входить величина с размерностью длины, чтобы получилась размерность подъемной силы и с остается единственным таким параметром. Нам пока еще неизвестна связь между с и размером профиля, а также между углом и формой профиля, однако выражение (6.7.9) дает полезную информацию о зависимости подъемной силы от угла Для значений а, таких, что можно приближенно заменить на (профили, обычно используемые на практике, отклоняются как раз в пределах нескольких градусов от положения их нулевой подъемной силы), имеем

Угол а между направлением движения профиля и фиксированной на профиле линией называется углом атпаки. Частное значение угла а, при котором а именно оказывается следствием нашего выбора как чисто мнимой

величины и не имеет никакого значения до тех пор, пока форма профиля не определена. Мы показали в весьма общем виде, что подъемная сила профиля с острой кромкой приблизительно пропорциональна углу поворота профиля, отсчитываемого от положения нулевой подъемной силы; этот результат имеет большое значение, так как он делает возможным непрерывное управление подъемной силой профиля путем изменения его положения.

Измерение подъемной силы части цилиндрического крыла, расположенного между двумя параллельными стенками аэродинамической трубы, показывает, что зависимость (6.7.10) остается справедливой для всех обычных профилей при достаточно малых значениях Когда превосходит некоторое критическое значение, которое зависит от формы профиля и для многих обычно используемых форм находится в пределах от 10 до 20°, подъемная сила перестает возрастать, и при дальнейшем увеличении угла может даже резко уменьшиться, что связано со срывом потока с профиля. Объяснение указанного нарушения соотношений (6.7.9) и (6.7.10) кроется в поведении пограничного слоя на верхней или «подсасывающей» части профиля. Когда тонкое тело наклоняется на любой малый угол к набегающему потоку, имеется явно выраженный максимум скорости на верхней поверхности приподнятого носика профиля (величину этого максимума можно уменьшить, придавая носику профиля утолщенную и плавно скругленную форму, но только в узких пределах, поскольку профиль должен оставаться тонким), а следующее за этим замедление жидкости вне пограничного слоя приводит к его отрыву. Линии тока при обтекании профиля со срывом потока представлены на фото 5.11.1, 6 и обсуждались ранее, когда рассматривалось влияние пограничного слоя на течение, вызванное движущимися телами.