(б) Течение в окрестности критической точки на твердой границе

Займемся теперь изучением стационарного распределения завихренности в непосредственной окрестности расположенной на твердой поверхности точки, течение возле которой характеризуется тем, что притекающая к поверхности жидкость разделяется на потоки, направленные в различные стороны от этой точки. Без учета условия прилипания эта разделяющая точка отличалась бы тем, что скорость жидкости относительно тела была бы равна в ней нулю; на практике течение в ее окрестности обычно называют течением у критической точки, хотя в действительности для реальной жидкости на всей твердой границе относительная скорость

равна нулю. Концентрируя внимание на достаточно малой окрестности разделяющей точки, мы можем считать твердую поверхность плоской (если, конечно, она не имеет излома).

Очевидно, что если нормальная к границе компонента скорости направлена всюду в сторону к границе в рассматриваемой области, то возникающая у границы завихренность будет переноситься к границе в противоположность вязкой диффузии, действующей в сторону от границы. Мы можем, следовательно, предположить, что порожденная у границы завихренность в стационарных условиях будет локализоваться в прилегающем к границе слое, толщина которого тем меньше, чем сильнее влияние конвекции; что касается завихренности вне этого слоя, то ее величина определяется условиями течения вдали от границы; эту величину можно положить равной нулю, как, например, для критической точки на передней части твердого тела, обтекаемого установившимся потоком с постоянной скоростью на бесконечности.

Рассмотрим сначала двумерное течение вблизи критической точки на твердой поверхности. Для решения этой задачи удобно будет определить прежде всего течение во внешней безвихревой области (что обычно легче из-за предположения об отсутствии вихрей); затем это течение используется с целью определения внешнего граничного условия для течения в слое жидкости с ненулевой завихренностью. Если теперь толщину вихревого слоя считать малой по сравнению с линейными размерами рассматриваемой области, то наличие этого слоя будет вносить небольшие изменения во внешнее безвихревое течение. Следовательно, мы можем искать безвихревое течение в приближенной форме, не учитывая вихревой слой вовсе (и, конечно, не учитывая условие прилипания, приводящее к возникновению этого слоя). Таким образом, внешнее течение представляет собой обычное безвихревое течение вблизи критической точки на плоской границе. Как мы увидим позже, один из способов улучшения данного приближения с целью учета влияния вихревого слоя на внешнее течение непосредственно следует из вида окончательного решения.

Известно (см. (2.7.10)), что течение в безвихревой области описывается функцией тока

где х, у — прямоугольные координаты, направленные вдоль границы и по нормали к ней (рис. 5.5.1); соответствующее распределение скорости:

Здесь k — положительная константа, которая в случае критической точки на обтекаемом теле должна быть по соображениям размерности пропорциональна скорости тела, движущегося в

Рис. 5.5.1. Установившееся двумерное течение в окрестности критической точки на твердой границе. 1 — область ненулевой завихренности; штриховкой показана твердая граница.

жидкости, и, как установлено, зависит также от формы обтекаемого тела в целом.

Определим теперь распределение завихренности в тонком слое вблизи границы, воспользовавшись уравнением

Граничные условия при записываются как а на внешней границе слоя течение приобретает вид (5.5.8). Далее, условие прилипания, конечно, приведет к изменению полученной зависимости компонент скорости от у, однако это не очевидно в отношении их зависимости от следовательно, имеет смысл выяснить, существует ли такое решение, для которого и во всем слое завихренности. Для этого решения мы можем записать

чему соответствует

где неизвестная функция, а штрихи означают дифференцирование по у. После подстановки в (5.5.9) для определения функции получаем уравнение

Рис. 5.5.2. Функция определяющая течение в вихревом слое.

с граничными условиями

Путем однократного интегрирования с учетом граничного условия при из (5.5.11) находим

Коэффициенты этого уравнения можно сделать безразмерными, если использовать преобразование

в результате имеем

с граничными условиями

Как было численно показано Хименцом (1911), можно найти решение этого уравнения, удовлетворяющее всем граничным условиям; оно приведено на рис. 5.5.2. Соответствующая картина линий тока и распределение компоненты схематически показаны на

рис. 5.5.1. Что касается единственности решения, то для уравнений движения с приведенными выше граничными условиями она не доказана. Однако с физической точки зрения можно считать, что поставленная нами задача решена, а полученное выше решение описывает происходящее в действительности течение жидкости.

Толщина слоя ненулевой завихренности (условно определяемая как значение у, при котором найденная численно, равна (по уточнению Хоуарта (1935))

Она не зависит от расстояния вдоль границы и, как и предполагалось ранее, стремится к нулю, когда влияние конвекции (выражаемое коэффициентом к) намного превосходит влияние диффузии (выражаемое коэффициентом Факт независимости толщины 6 от координаты х наводит на мысль о том, что влияние слоя завихренности на безвихревое течение (это влияние совсем не учитывалось в начале вычислений) приближенно выражается смещением всего течения в направлении оси у, что равносильно простому передвижению границы; для подтверждения этого заметим, что, согласно рис. 5.5.2, уточненная асимптотическая оценка для при имеет вид

так что для соответствующих асимптотических выражений компонент скорости получаем

где «толщина вытеснения» слоя

Это простое смещение всего безвихревого течения не вызывает изменения в распределении скорости течения.

Теперь становится ясным, как найти ограничение на величину необходимое для того, чтобы полученное выше решение было справедливо в слое завихренности; это ограничение состоит в том, чтобы область вблизи критической точки, внутри которой течение имело бы вид (5.5.8) без учета условия прилипания, находилась от границы жидкости дальше, чем внешний край слоя завихренности. В случае критической точки на передней части тела, обтекаемого равномерным потоком, указанное ограничение обычно определяется тем условием, чтобы величина была много меньше радиуса кривизны тела в критической точке.

В заключение полезно отметить, что постоянство толщины слоя завихренности в рассматриваемых условиях связано, очевидно, с постоянством по х поперечной скорости жидкости на внешней

границе слоя или, что равносильно, с конвекцией завихренности от критической точки вдоль границы со скоростью, линейно возрастающей по х. Как будет установлено в дальнейшем (§ 5.9), при изменении компоненты скорости и на внешнем крае слоя по закону толщина слоя увеличивается по х при в этом случае влияние конвекции не настолько велико, чтобы препятствовать увеличению толщины слоя за счет диффузии; если же то толщина слоя уменьшается с увеличением х.

Аналогичное решение можно найти и в случае установившегося осесимметричного течения (без азимутальной составляющей) в окрестности «критической точки» на плоской твердой границе (Хоман (1936б)); такое течение приближенно соответствует течению на передней части тела вращения, которое движется параллельно своей оси симметрии в жидкости, покоящейся на бесконечности. В этом случае безвихревое течение вне слоя завихренности описывается соотношениями (2.7.11) с в качестве границы, а определение течения в слое завихренности остается таким же, что и в плоском случае, с небольшими числовыми отличиями. Как плоское, так и осесимметричное решения являются частными (и простыми) случаями решения общей задачи о течении в окрестности критической точки (Хоуарт (1951)), когда скорость в безвихревой области течения задается соотношениями вида (2.7.9).