5.15. Примеры применения теоремы о количестве движения

Как упоминалось в § 3.2, существуют условия, при которых можно получить полезные и вполне точные результаты для установившихся течений путем применения теоремы о количестве движения, т. е. уравнения количества движения в интегральной форме (3.2.4). Успех зависит от того, удастся ли выбрать контрольную поверхность таким образом, чтобы непосредственно по доступным данным можно было вычислить поток количества движения и

Рис. 5.15.1. Использование теоремы о количестве движения для определения силы, действующей на решетку твердых тел.

напряжения во всех точках контрольной поверхности. Приводимые в этом параграфе два примера применения теоремы о количестве движения связаны с переходом одного однородного потока в другой; такой вид течения, по-видимому, наиболее пригоден для применения указанной теоремы.

Сила, действующая на периодическую решетку твердых тел в потоке

В первом довольно простом примере поток жидкости, имеющий постоянную скорость набегает на решетку одинаковых твердых тел, распределенных периодически в плоскости, нормальной потоку (рис. 5.15.1); эти твердые тела имеют малые линейные размеры и расположены близко друг от друга, как, например, проволочки в сетке, а поток ограничен в поперечном направлении стенками, параллельными потоку. Установлено, что в условиях, близких к рассматриваемым, скорость жидкости снова становится постоянной на некотором расстоянии вниз по потоку и принимает то же самое значение в соответствии с законом сохранения массы (если плотность жидкости не изменяется заметным образом). Жидкость действует на решетку с силой, которая направлена вниз по потоку, если твердые тела симметричны относительно нормали к решетке; мы выясним сейчас, можно ли по условиям вверх и вниз по потоку определить среднюю силу, действующую на единицу площади плоскости решетки.

Выберем контрольную поверхность так, как указано штриховой линией на рис. 5.15.1; она содержит систему внутренних границ и внешнюю границу А 2 в виде прямоугольной призмы, поперечное сечение которой (показано штриховой линией) достаточно велико, чтобы можно было охватить большое число элементов решетки и применить соотношение (3.2.4); мы не будем учитывать член, обусловленный действием силы тяжести, так как его можно включить в модифицированное давление жидкости.

Результирующий поток количества движения из области, ограниченной поверхностями равен нулю, и, таким образом, -компонента полной силы на участке решетки, охватываемом поверхностью равна

где нормаль направлена наружу для всех участков границы. Напряжение равно нормальному на передней и задней гранях призмы , где скорость течения постоянна, а давление равно в области далеко вверх по потоку и вниз по потоку; это напряжение равно нормальному и на боковых гранях призмы, исключая окрестность решетки. Следовательно, если вклад в интеграл от касательного напряжения на боковых гранях призмы сделать относительно малым путем выбора достаточно большого поперечного сечения призмы, то средняя сила, действующая на единицу площади плоскости решетки, равна

Таким образом, нормальная сила, действующая со стороны жидкости на решетку, может быть определена без какого-либо теоретического или экспериментального изучения течения вблизи тел, образующих решетку.

Результат (5.15.1) остается, конечно, справедливым и в том случае, когда набегающий поток не перпендикулярен плоскости решетки или когда тела решетки несимметричны, так как и набегающий, и сходящий потоки остаются однородными достаточно далеко от решетки; при этом приведенные выше рассуждения остаются в силе для нормальной компоненты скорости течения по обеим сторонам решетки и для нормальной компоненты силы, действующей на тела решетки. В каждом из этих новых случаев жидкость действует на решетку тел с силой, имеющей компоненту в плоскости решетки, и, следовательно, в окрестности решетки имеется соответствующее отклонение потока.