Слой на свободной поверхности

Предположим сначала, что, как и раньше, жидкость ограничена горизонтальной свободной поверхностью, к которой приложено постоянное напряжение Воспользуемся прямоугольной системой координат, которая вращается с постоянной угловой скоростью вертикальная ось z которой направлена вверх, а ось х направлена вдоль приложенного на поверхности напряжения. Очевидно, что вектор скорости жидкости лежит в горизонтальной плоскости и имеет компоненты и, и зависит только от 2. Граничные условия, которым надо удовлетворить, имеют вид

а также

Давление (модифицированное для учета силы тяжести и центробежной силы) также постоянно в горизонтальной плоскости, поэтому уравнения установившегося движения относительно вращающихся осей в этой плоскости записываются так:

Здесь компонента в направлении оси z вектора угловой скорости вращения системы координат. В случае движения на земной поверхности где разность равна широте, и только приближенно постоянна во всем поле течения. Компонента кориолисовой силы в направлении оси z компенсируется градиентом давления и не представляет интереса с динамической точки зрения.

Уравнения (4.4.4) и (4.4.5) достаточны для определения как функций от Умножение уравнения (4.4.5) на и сложение его с уравнением (4.4.4) дает одно дифференциальное уравнение

решение которого, удовлетворяющее условиям на бесконечности, имеет вид

где причем считается положительной, что соответствует северному полушарию. Комплексная постоянная А находится из условий (4.4.3) на свободной поверхности

и тогда

Поэтому в слое вблизи поверхности с толщиной порядка вполне возможно установившееся течение. На поверхности жидкости скорость имеет максимальную величину и направлена под углом 45°, отсчитываемым по часовой стрелке (глядя сверху) от приложенного напряжения. Довольно неожиданно, но этот угол не зависит от угловой скорости вращения (можно

Рис. 4.4.1. Вектор скорости во вращающейся жидкости: а — на различных расстояниях под свободной поверхностью, на которой приложено касательное напряжение, и б - на различных расстояниях над твердой плоскостью, когда имеется градиент давления. 1 — направление напряжения на свободной поверхности; 2 - направление градиента давления.

поинтересоваться, что происходит при в этом случае время, необходимое для установления движения, которое возникает из состояния покоя, неограниченно возрастает и, следовательно, также возрастает величина установившейся скорости на поверхности). По мере углубления под свободную поверхность жидкости происходит равномерный поворот вектора скорости по часовой стрелке а его величина уменьшается по экспоненциальному закону; на глубине, равной которую можно было бы назвать глубиной проникания, направление скорости противоположно ее направлению на поверхности, а величина скорости уменьшается в раз по сравнению со значением на поверхности. На рис. 4.4.1, а представлена проекция на горизонтальную плоскость вектора скорости для нескольких равноотстоящих глубин, причем кривая, описываемая концом вектора, оказывается логарифмической спиралью.

На это установившееся течение, характеризуемое равновесием кориолисовых сил и сил трения, впервые обратил внимание Экман (1905) и использовал его при обсуждении порождаемых ветром океанических течений на вращающейся Земле Недостаток любого такого приложения этой теории к океану связан с предположением, что касательные напряжения возникают в результате молекулярной вязкости; как уже отмечалось, перенос количества движения через горизонтальные плоскости как в океане, так и в атмосфере происходит обычно в основном вследствие нерегулярных флуктуации скорости жидкости, возникающих по разным причинам. Одно возможное усовершенствование полученного

решения с учетом этого факта заключается в том, чтобы рассматривать которое входит в выражения (4.4.9) и (4.4.10), как некоторый эффективный кинематический коэффициент вязкости, обусловленный флуктуациями скорости (и если имеются данные об изменении этой эффективной вязкости с изменением глубины, то можно вернуться к дифференциальным уравнениям (4.4.4) и (4.4.5) и проинтегрировать их заново). Глубина проникания спирали пропорциональна и равна на полюсах Земли если величина равна коэффициенту кинематической вязкости воды при эффективный коэффициент вязкости при турбулентном смешении в поверхностных слоях моря широко изменяется с изменением условий, однако он почти всегда значительно больше коэффициента молекулярной вязкости (иногда в 105 раз), и соответственно больше становится и глубина проникания.

Одним из параметров течения, представляющим интерес в океанографии, является результирующий объемный поток воды в поверхностном слое через вертикальную плоскость. Его можно определить интегралом

и он не зависит от если задано приложенное напряжение следовательно, эффективная величина коэффициента в данном случае не имеет особого значения. Следует отметить, что результирующий поток в направлении приложенного напряжения равен нулю, как и следовало ожидать, исходя из того, что результирующее движение в этом направлении привело бы к появлению результирующей кориолисовой силы в ортогональном к нему направлении, которое невозможно было бы скомпенсировать какой-либо другой внешней силой.