Твердая граница, внезапно приводимая в движение относительно другой неподвижной границы

Пусть жидкость ограничена двумя твердыми плоскими границами при в начальный момент она находится в состоянии покоя, а ее движение, как и раньше, возникает в результате того, что нижняя граница мгновенно приобретает постоянную скорость в своей плоскости, причем верхняя граница остается неподвижной. Дифференциальным уравнением задачи будет, как и раньше, уравнение (4.3.9) с граничными условиями

Поскольку в задачу входит размерный параметр d, отношение больше не является единственной безразмерной комбинацией из имеющихся в нашем распоряжении параметров и нет оснований надеяться получить автомодельное решение.

Подходящее решение уравнения (4.3.9) удобнее найти, введя сначала новую зависимую переменную

которая удовлетворяет тому же самому дифференциальному уравнению, но имеет однородные граничные условия при Частное решение которое удовлетворяет этим двум граничным условиям, имеет вид

при целом. Теперь попытаемся удовлетворить условию для функции при посредством наложения семейства таких решений, т. е. будем искать величины констант так, чтобы выполнялось равенство

Отсюда следует, что

Таким образом, искомое распределение скорости определяется выражением

Рис. 4.3.2. Развитие из состояния покоя установившегося течения между параллельными пластинами при их относительном движении.

Форма полученного ряда Фурье отражает существующий разрыв функции и по у при когда Это решение в виде ряда не очень удобно для проведения вычислений при так как тогда ряд сходится очень медленно, и более подходящее для этого случая решение было найдено с помощью преобразования Лапласа в связи с аналогичной задачей теплопроводности в неподвижной среде.

Профили скорости для различных значений на рис. 4.3.2 показывают, каким образом влияние неподвижной верхней границы, вначале пренебрежимо малое, постепенно сказывается на распространении изменений скорости. Как и следовало ожидать, скорость асимптотически стремится к величине, соответствующей установившемуся течению между двумя твердыми плоскостями в относительном движении (см. § 4.2); в противоположность этому в предыдущем случае, в котором верхней границы не было, изменение скорости продолжает распространяться в невозмущенной жидкости бесконечно долго. Скорость, с которой члены ряда в выражении (4.3.14) стремятся к нулю, растет с ростом и дольше всех сохраняется первый член Как только этот первый член становится доминирующим, отклонение от асимптотического установившегося состояния затухает приблизительно по экспоненциальному закону с постоянной («периодом полураспада»), равной