Изэнтпропическое течение

Поля течения, в которых нет эффектов молекулярного переноса, образуют важный специальный случай, на который постоянно ссылаются в теоретической гидродинамике. Поэтому временно положим, что в приведенных выше уравнениях величины и к равны нулю, не зная пока еще условий, при которых это может быть подходящим приближением.

Уравнение (3.6.3) показывает, что в этих условиях как отмечалось в § 3.5, тогда говорят, что течение является изэнтропическим. Остающуюся часть уравнения (3.6.3), а именно

вместе с уравнением состояния (3.6.5) можно использовать для нахождения зависимости между при изэнтропических изменениях состояния каждого элемента жидкости

Наличие в этой зависимости энтропии напоминает нам, что если поле течения негомоэнтропическое, то плотность может выражаться разными функциями от давления для различных элементов жидкости. Уравнение (1.7.24) является частным случаем уравнения (3.6.7) для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями. Уравнения (3.6.1) и (3.6.2), дополненные соотношением (3.6.7) между достаточны для определения поля течения, а равенство (3.6.6) служит для определения связанного с ним распределения температуры. Характерная

особенность изэнтропического течения, упрощающая рассмотрение, заключается в том, что обмен между внутренней энергией и другими видами энергии происходит обратимо, а внутренняя энергия и температура играют пассивную роль, изменяясь только вследствие сжатия элемента.

Таким образом, основные уравнения изэнтропического течения можно написать в виде

и еще уравнение (3.6.7), причем считается известной функцией плотности (или давления вид которой может быть различным для различных элементов жидкости.

Физический смысл параметра с, который имеет размерность скорости, можно понять следующим образом. Предположим, что масса однородной жидкости находится первоначально в состоянии покоя, в равновесии, так что давление и плотность связаны уравнением

Затем эта жидкость слабо возмущается (все изменения происходят изэнтропически), так что некоторые или все ее элементы подвергаются сжатию, причем плотность изменяется на малые величины, а потом освобождается, свободно возвращается в состояние равновесия и совершает колебания относительно этого состояния. Возмущения величин плотности давления и скорости и малы по величине, и подходящее приближение уравнений (3.6.8) и (3.6.9) имеет вид

где значение с при исключая из этих двух уравнений скорость и, получаем

Массовая сила обычно возникает под действием силы тяжести, тогда и последний член в уравнении (3.6.10) пренебрежимо мал, за исключением маловероятного случая крупномасштабных изменений давления, масштаб которых не мал

по сравнению с величиной которая для воздуха при нормальных условиях равна приблизительно воды эта величина еще больше). Следовательно, в этих обычных условиях уравнение (3.6.10) сводится к волновому относительно и плотность удовлетворяет такому же уравнению Для этого уравнения существуют решения, представляющие плоские волны сжатия, которые распространяются с фазовой скоростью и в которых скорость жидкости и параллельна направлению распространения волны. Другими словами, величина есть скорость распространения звуковых волн в жидкости, плотность которой в невозмущенном состоянии равна Не все решения уравнений (3.6.8) и (3.6.9) представляют собой волны сжатия малой амплитуды, однако тем не менее полезно иметь в виду приведенную интерпретацию величины с как локальной скорости, с которой звуковые волны могут распространяться в жидкости.