Пузырь, поднимающийся в вертикальной трубе

Форма верхней части больших пузырей, поднимающихся в вертикальных трубах кругового поперечного сечения, также оказывается стационарной и не зависит от размера пузыря, если только он достаточно велик, чтобы заполнить трубу. Как показано схематически на рис. 6.11.4, в этих условиях кольцевая область трубы, содержащая воду, сужается в направлении нижней части пузыря, которая нестационарна и имеет неправильную форму с приближенно плоским основанием. Увеличение объема пузыря приводит к увеличению его длины без изменения формы верхней части. Предельный случай соответствует вертикальной трубе, закрытой сверху и сначала заполненной водой, которая затем стекает из нижнего конца трубы; в этом случае нерегулярная донная часть пузыря вообще не образуется.

Рис. 6.11.4. Большой пузырь, поднимающийся в вертикальной круглой трубе, наполненной водой.

Влияние вязкости на течение опять можно не учитывать (за исключением только тех случаев, когда кольцевой слой воды весьма тонок), и равенство (6.11.4) дает связь между постоянной скоростью подъема пузыря и радиусом кривизны границы его верхней части. Коэффициент а постоянен для всех пузырей, которые настолько велики, что способны занять почти все поперечное сечение трубы, и этот коэффициент характеризует распределение скорости в окрестности критической точки передней части пузыря; однако форма пузыря геометрически не простая, и нельзя найти величину а методом, используемым для пузыря в безграничной жидкости. Наблюдения показывают, что скорость имеет порядок где а — радиус круглой трубы, содержащей пузырь. Эта скорость меньше, чем для пузыря в виде сферического сегмента (в безграничной жидкости) с радиусом сферы если ; это означает, что пузыри, которые еще не заполняют трубу, догоняют большой пузырь и сливаются с ним. Установлено, что в действительности дело обстоит именно так, и поток пузырей, выделяющихся в нижней части длинной вертикальной трубы, в конце концов превращается в несколько больших пузырей, которые заполняют трубу и перемещаются вверх с приближенно одинаковой скоростью.

На достаточном расстоянии вниз от передней части большого пузыря, который заполняет трубу, его граница становится почти цилиндрической с радиусом, например, а скорость воды приближенно вертикальна. Если влиянием вязкости можно пренебречь (это значит, что толщина слоя d не должна быть слишком малой), то скорость воды в системе координат, движущейся вместе

с пузырем, будет приближенно постоянной поперек узкого кольцевого канала и равна скорости на границе пузыря, которая, согласно теореме Бернулли, равна где расстояние вдоль оси трубы от передней части пузыря (рис. 6.11.4). Уравнение сохранения массы дает приближенное соотношение

из которого при следует

Принимая во внимание наблюдаемое значение параметра получаем

Эта оценка толщины кольцевого слоя воды не годится в тех случаях, когда величина d становится очень малой, сравнимой с толщиной пограничного слоя на стенках трубы, внутри которого завихренность не равна нулю. На достаточном удалении вниз по потоку завихренность будет полностью диффундировать через кольцевой слой, и тогда силы вязкости, действующие на элемент слоя, компенсируют силу тяжести. Профиль скорости становится параболическим и, как показано в § 4.2 для течения в слое со свободной поверхностью на вертикальной пластине, объемный поток в системе координат, связанной со стенкой, равен на единицу ширины слоя, параллельного стенке. Условие сохранения массы в этом случае дает уравнение

его приближенное решение (при с учетом наблюдаемого значения скорости таково:

Для воды, вытекающей из трубы радиуса 10 см, по этой формуле получается, что