5.14. Течения со свободными поверхностями

Пограничный слой на свободной поверхности

Хотя твердые границы являются наиболее общим источником завихренности, а следовательно, и пограничных слоев в течениях при больших числах Рейнольдса, случай границы с нулевым касательным напряжением позволяет выявить интересные особенности и заслуживает обсуждения. Так, на «свободной» поверхности жидкости (§ 3.3) нормальная компонента напряжения равна сумме постоянного члена и зависящего от поверхностного натяжения, а касательная компонента равна нулю.

Следуя порядку изложения в предыдущих параграфах, полезно рассмотреть течение жидкости, которое возникает из состояния покоя, если всем границам придать заданные скорости движения. Непосредственно после начала движения границ движение жидкости будет всюду безвихревым. Нам нужно выяснить, может ли такое движение удовлетворить полным граничным условиям; если ответ утвердительный, то безвихревое движение сохранится и установившимся состоянием всюду будет одно из безвихревых течений. Далее, если форма свободной границы была задана заранее, то безвихревое течение было бы полностью определено, а условия для нормальной и касательной компонент напряжений на свободной границе остались бы в общем случае неудовлетворенными. В действительности форма свободной границы изменяется при движении жидкости и принимает тот или иной вид в соответствии с граничными условиями. Одно из двух граничных условий удовлетворяется первоначальным безвихревым течением — это условие для нормальной компоненты напряжения; действительно, любое отклонение нормального напряжения на поверхности жидкости от заданного значения повлечет за собой возникновение бесконечного ускорения частиц жидкости на границе в направлении по нормали к ней и, таким образом, произойдет быстрое изменение формы свободной границы. Следовательно, мы можем предположить, что во все моменты времени форма свободной границы такова, что нормальное напряжение на границе равно сумме постоянной и некоторого скачка давления, обусловленного поверхностным натяжением. В общем случае этим полностью определяется начальное безвихревое движение и форма свободной границы.

Остается еще условие равенства нулю касательного напряжения на границе, которое в общем случае не может быть удовлетворено начальным безвихревым движением. При любом отклонении касательного напряжения в безвихревом течении от нулевого значения в точках вблизи свободной границы на границе возникает бесконечное ускорение жидкости, параллельное границе и направленное так, чтобы касательное напряжение в жидкости

приблизилось к нулевому. Это ускорение жидкости под действием сил вязкости порождает на границе завихренность, которая затем диффундирует в жидкость обычным образом. Однако если в случае твердой границы требуется ненулевой скачок скорости на границе и, следовательно, возникает слой (первоначально) бесконечной завихренности, то в случае свободной границы требуется ненулевой скачок производных скорости и порождается конечная завихренность. Точная величина возникающей на свободной границе завихренности может быть легко вычислена следующим путем.

Выберем систему ортогональных криволинейных координат такую, чтобы свободная поверхность в данный момент совпадала с одной из поверхностей Обозначим через соответствующие компоненты скоростей в нашей системе координат, а через коэффициенты Ламе. Тогда для -компоненты завихренности (см. приложение 2) имеем

что можно переписать как

Выражение внутри фигурных скобок равно удвоенной величине одного из внедиагональных элементов тензора скоростей деформации (см. приложение 2); этот элемент должен быть равен нулю на свободной поверхности, чтобы обеспечить на ней равенство нулю соответствующей касательной компоненты тензора напряжений. Нормальная компонента скорости, так же как и должна быть непрерывной при переходе через тонкий слой у свободной поверхности; кроме того, требуется, чтобы касательная компонента скорости не имела скачка, так что последние два члена в (5.14.1) можно считать непрерывными. Таким образом, скачок завихренности в тонком пограничном слое, формирующемся на свободной поверхности, равен просто значению выражения в фигурных скобках из (5.14.1) на границе области исходного безвихревого течения, т. е.

потенциал скорости безвихревого течения. Для скачка завихренности можно выписать соответствующее выражение, а скачок завихренности равен нулю.

В тех случаях, когда свободная поверхность стационарна или может быть сделана таковой путем подходящего выбора поступательной и вращательной скоростей системы координат (при таких движениях системы координат тензор скоростей

деформации остается неизменным), мы имеем во всех точках свободной границы и (5.14.2) можно записать в виде

где кривизна линии пересечения свободной поверхности плоскостью, нормальной к координатной линии Отсюда, в частности, следует, что для плоской свободной поверхности скачок завихренности равен нулю. Это связано с тем, что в прямоугольной системе координат для безвихревой области течения, и если во всех точках свободной поверхности, то имеем также а это показывает, что в безвихревом потоке касательное напряжение на свободной поверхности равно нулю. Таким образом, в случае стационарной плоской свободной поверхности, такой, как в баке с водой или в бассейне, когда движения воды настолько спокойны, что форма свободной поверхности не изменяется, безвихревое движение воды удовлетворяет всем граничным условиям на свободной поверхности, образования завихренности у свободной поверхности не происходит и пограничный слой на ней не возникает. Что касается стационарной криволинейной свободной поверхности, то одну из координатных линий на ней можно направить параллельно вектору в каждой точке; тогда будет ясно, что скачок завихренности представляет собой вектор, лежащий в касательной плоскости к свободной поверхности и перпендикулярной к линии тока в каждой точке, а величина его равна

где кривизна линии пересечения свободной поверхности плоскостью, нормальной ей и параллельной вектору

Таким образом, в формирующемся на свободной поверхности пограничном слое завихренность диффундирует за счет вязкости и переносится потоком (подобно тому как она изменяется в трехмерных течениях за счет вращения и растяжения вихревых линий); завихренность на свободной поверхности всегда больше завихренности сразу вне пограничного слоя на величину, определяемую соотношениями (5.14.2) или (5.14.4), в тех случаях, когда они применимы (или слегка измененным вариантом соотношения (5.14.2), если движение вне пограничного слоя не является безвихревым). Скачок скорости при переходе через пограничный слой, очевидно, имеет порядок где толщина пограничного слоя, и, таким образом, изменяется как в тех многочисленных случаях, когда диффузия завихренности приводит именно к такому закону изменения толщины 6 пограничного слоя.

Столь малое изменение скорости поперек пограничного слоя имеет три важных следствия.

а) Уравнения движения в пограничном слое могут быть линеаризованы, если их записать для отклонения скорости от ее значения сразу вне пограничного слоя. Например, для двумерного пограничного слоя с использованием обозначений из § 5.7 уравнение сохранения массы (5.7.2) дает

а из уравнений (5.7.1) и (5.7.8) с достаточной точностью получается

где Если течение установившееся, известная функция от х, то полученное линейное уравнение для и можно решить стандартными методами.

б) Известная тенденция к возникновению обратного течения в пограничном слое при замедлении внешнего потока оказывается намного слабее на свободной поверхности, чем на твердой стенке, и отрыв пограничного слоя едва ли произойдет, за исключением случая очень большой кривизны свободной границы в какой-либо точке.

в) Поскольку градиенты скорости внутри пограничного слоя по порядку величины не больше градиентов скорости вне пограничного слоя, то скорость диссипации энергии на единицу объема жидкости будет одного и того же порядка во всей жидкости. Таким образом, полная скорость диссипации энергии обусловлена главным образом более обширной областью безвихревого течения; этот вывод противоположен выводу для течения с пограничным слоем на твердой границе, для которого часть полной диссипации в области безвихревого течения мала.

Ниже мы остановимся на двух примерах применения этих результатов к течению жидкости с большими числами Рейнольдса при наличии свободной поверхности.