2.2. Сохранение массы

Требование о сохранении массы жидкости налагает определенные ограничения на поле скоростей, и, хотя эти ограничения нельзя считать строго кинематическими, удобно рассмотреть их уже на данном этапе. Иногда течение бывает таким, что можно сразу обнаружить следствия из закона сохранения массы, как, например, в сферически симметричном или по существу одномерном течении, но во многих случаях необходимо использовать этот закон в виде дифференциального уравнения.

Рассмотрим замкнутую поверхность А, которая фиксирована относительно осей координат и охватывает объем жидкости Если плотность жидкости в точке х и в момент t, то масса жидкости, содержащаяся внутри замкнутой поверхности в любой момент времени, равна результирующий расход массы жидкости, которая вытекает из замкнутого объема через поверхность, равен где соответственно элемент замкнутого объема и элемент площади поверхности А, причем через обозначена единичная внешняя нормаль к этому элементу поверхности. Условие сохранения массы жидкости требует, чтобы выполнялось равенство

которое после дифференцирования под знаком интеграла (учитывая, что объем V фиксирован в пространстве) и преобразования интеграла по поверхности можно записать в виде

Это соотношение справедливо при любом выборе объема V, если только он находится целиком в жидкости, поэтому подинтегральное выражение, если оно является непрерывной функцией х, всюду в жидкости должно тождественно обращаться в нуль. Следовательно,

во всех точках жидкости, если левая часть равенства является непрерывной функцией координат. Это последнее ограничение не имеет большого значения, поскольку разрывы плотности или скорости и будут встречаться в нашем анализе только в изолированных точках, на линиях или на поверхностях; следовательно, уравнение (2.2.2) справедливо всюду в жидкости, за исключением, возможно, этих точек, линий или поверхностей.

Уравнение сохранения массы (2.2.2) — одно из фундаментальных уравнений механики жидкости. В течение многих лет оно без особых к тому оснований называется уравнением неразрывности.

Другая форма этого уравнения получается путем раскрытия члена с дивергенцией и использования обозначения (2.1.3) для субстанциональной производной

В этой форме уравнение можно интерпретировать применительно к объему данной массы жидкости. Величина изменяется в результате движения каждого элемента граничной жидкой поверхности (где вектор внешней нормали) и согласно формуле Остроградского-Гаусса

Следовательно, скорость, с которой изменяется объем элемента жидкости в точке х, отнесенная к величине этого объема, равна

Эта относительная скорость изменения называется локальной скоростью объемного расширения или дивергенцией и будет иногда обозначаться одним символом А. Тогда уравнение сохранения массы в виде (2.2.3), очевидно, эквивалентно утверждению, что относительные скорости изменения плотности и объема жидкого

элемента равны по величине и противоположны по знаку; это утверждение, очевидно, могло служить исходным при выводе уравнения сохранения массы.

Жидкость называется несжимаемой, если плотность элемента жидкости остается неизменной под влиянием изменений давления. В дальнейшем мы убедимся, что изменения давления в некоторых обычных полях течений составляют столь малую долю абсолютного давления, что даже газы можно рассматривать как почти несжимаемую жидкость. Кроме того, плотность элемента жидкости может изменяться вследствие молекулярного переноса тепла (или, реже, растворенного вещества); однако условия, при которых влияние теплопроводности в жидкости пренебрежимо мало, являются общими, и утверждение о том, что жидкость по существу несжимаема, обычно означает при отсутствии какого-нибудь явного ограничения, связанного с теплопроводностью, что плотность каждого элемента жидкости остается постоянной (см. § 3.6). Следовательно, для несжимаемой жидкости скорость изменения плотности по направлению движения равна нулю, т. е.

Поэтому уравнение сохранения массы приобретает простую форму

В этом случае относительная скорость объемного расширения всюду равна нулю, и, как показано в курсах векторного анализа, трубка тока не может заканчиваться внутри жидкости; она должна быть или замкнутой, или оканчиваться на границе жидкости, или уходить в бесконечность. Вектор и, имеющий нулевую дивергенцию, называется соленоидалъным.