Простое движение сдвига

Типичным примером относительного поля скоростей, которое часто встречается на практике, является простое движение сдвига (коротко сдвиг), в котором плоские слои жидкости скользят друг относительно друга. В этом случае относительная скорость имеет всюду одно и то же направление и изменяется только в одном направлении, перпендикулярном к направлению При соответствующем выборе осей координат производная не обращается в нуль только при следовательно,

и

Главные скорости деформаций равны и нулю соответственно вдоль главных осей, направления которых относительно исходной системы координат определяются единичными векторами и соответственно. На рис. 2.3.1 показано, каким образом деформационное и вращательное движения суммируются в точках окружности на плоскости образуя простой сдвиг.

Такое представление простого сдвига в виде наложения чисто деформационного движения (с нулевой скоростью расширения) и вращения как твердого тела позволяет выбрать его в качестве основного элемента при изучении поля относительных скоростей более общего вида; иногда это оказывается весьма полезным. Прежде чем приступить к общему случаю, покажем, что любое двумерное поле относительных локальных скоростей можно представить путем наложения симметричного расширения, простого сдвига и квазитвердого вращения жидкости. Сначала разложим поле относительных скоростей на чисто деформационное и вращательное движения, подобно сделанному выше, и повернем оси координат так, чтобы они совпали с главными осями тензора скоростей деформации. Тогда

где Затем повернем оси координат еще на 45° так, чтобы вектор имел компоненты и

Рис. 2.3.1. Простое движение сдвига вблизи точки, разложенное на чисто деформационное движение и вращение. Главные оси деформационного движения наклонены под углами 45° к осям Результирующее движение обозначено сплошными стрелками, деформационное — пунктирными стрелками, а вращение — штриховыми.

Первое слагаемое дает симметричное расширение, в котором все жидкие линии растягиваются со скоростью а из равенств (2.3.14) видно, что второй член совместно с квазитвердым вращением с угловой скоростью относительно нормали к плоскости движения дает простой сдвиг; отсюда следует сформулированный выше результат.

Аналогично в общем трехмерном случае любое поле относительных локальных скоростей может быть представлено наложением симметричного растяжения, двух простых сдвигов и одного квазитвердого вращения. Как и раньше, разлагаем движение на вращение и на чисто деформационное движение, причем для последнего в главных осях координат

Первый член дает сферически симметричное расширение, при котором объем жидкого элемента увеличивается со скоростью V — и на единицу объема, а второй и третий соответственно определяют двумерное чисто деформационное движение с нулевым объемным расширением, которое, как было показано ранее, может быть представлено наложением простого сдвига и подходящего квазитвердого вращения; отсюда и получается указанный результат. Следует отметить, что два простых сдвига, которые необходимы для представления данного поля относительных скоростей, можно

выбрать несколькими различными способами (в соответствии с тем. что внедиагональный элемент тензора скоростей деформаций определяет простой сдвиг с точностью до любого из двух квазитвердых вращений с равными по величине и противоположными по знаку угловыми скоростями).