2.10. Двумерные поля течения, простирающиеся в бесконечность

Если жидкость не простирается в бесконечность в плоскости движения, то формулы предыдущих параграфов (и в частности § 2.8, когда жидкость ограничена изнутри и, следовательно, занимает многосвязную область) легко приспособить к случаю двумерного движения. В направлении нормали к плоскости

движения жидкость обязательно простирается на бесконечное расстояние (при математическом описании задачи), но поведение скорости «на бесконечности» в данном случае известно, и никаких трудностей не возникает; там, где поверхностный интеграл приходится брать по границе жидкости, иногда целесообразно предположить, что поле течения ограничено двумя плоскостями, параллельными плоскости движения, на которых нормальная компонента скорости жидкости равна нулю.

Однако двумерное течение в жидкости, ограниченной изнутри и простирающейся в бесконечность в любом направлении в плоскости движения, все же обладает некоторыми специальными свойствами, которые требуют отдельного рассмотрения. Предположим, что на больших расстояниях от начала координат в плоскости движения жидкость покоится, а начало координат находится вблизи внутренних границ жидкости. Доказательства формул § 2.9 и, в частности, формул, определяющих поведение функции на больших расстояниях от внутренней границы, нуждаются в изменениях. Поскольку они основаны на предположении, что скорость жидкости мала всюду на сфере большого радиуса с центром, расположенным вблизи внутренних границ, необходимые изменения не представляют особых трудностей, и поэтому их можно только наметить в общих чертах.

Рассуждения, подобные тем, которые привели к выражениям (2.9.1) и (2.9.2), снова приводят к заключению, что если модуль на больших расстояниях от внутренней границы достаточно мал, то поле скоростей, связанное с заданным распределением скорости объемного расширения А, асимптотически ведет себя так, как будто все объемное расширение происходит в начале координат; если случайно окажется, что (теперь элемент объема представляет собой цилиндр единичной высоты в направлении нормали к плоскости движения и с площадью поперечного сечения то распределение скоростей на достаточном удалении от внутренней границы совпадает с распределением скоростей от диполя источников в начале координат. Результаты, соответствующие формулам (2.9.3) и (2.9.6), можно получить для скорости связанной с заданным распределением завихренности в двух измерениях.

Важная задача определения поведения функции при больших значениях если известно, что при может быть исследована тем же самым общим методом. Формула (2.9.8), полученная по теореме Грина, справедлива и в двух измерениях при тех же условиях, налагаемых на функции только 6.4, и 6.4 2 в данном случае означают элементы длины, элемент площади в плоскости движения (точно так, как если бы они относились к слою жидкости единичной толщины

в направлении нормали к плоскости движения); внешняя граница А 2 теперь представляет собой круг с центром в точке достаточно большого радиуса охватывающий все внутренние границы. Выберем функции

каждая из которых удовлетворяет уравнению Лапласа в двух измерениях; здесь, как и раньше, однозначный потенциал скорости. (Часто встречаются течения с многозначными потенциалами, поскольку рассматриваемая область многосвязна, но мы исключим такой случай, чтобы можно было воспользоваться теоремой Грина.) Точка окружается малым кругом, площадь которого нужно исключить из области интегрирования по V, и вместо (2.9.9) находим добавок к интегралу по Выражение объемного потока (2.9.10) остается без изменений, а вместо (2.9.12) находим

в котором

Вместо (2.9.14) получаем путем интегрирования выражения для потока, соответствующего выражению (2.9.13),

где С — постоянная интегрирования, не зависящая от тем же способом, что и раньше, убеждаемся, что, когда обращается в нуль на бесконечности, постоянная С также не зависит от х, т. е. координат центра окружности Затем вместо (2.9.16) получается

Теперь можно установить асимптотическое выражение для функции Действительно, из выражения (2.10.3) при следует

Тот факт, что не стремится к постоянной на бесконечности, в данном случае связан с тем, что слагаемое типа «источника» в разложении функции в ряд, соответствующий выражениям (2.9.20), которое представляет собой член с наименьшей скоростью убывания при в двумерном случае вообще не убывает, а возрастает как

Несмотря на это различие в поведении при условия единственности для имеют такой же вид, как и в трехмерном поле течения. Величину можно рассматривать как (однозначный) потенциал скорости поля течения, а он, как известно, стремится к постоянному значению на бесконечности в плоскости движения; следовательно, формула Остроградского — Гаусса, примененная тем же способом, который приводит к (2.9.17), для объема жидкости, ограниченного двумя плоскостями, параллельными плоскости движения, показывает, что градиент разности определяется однозначно всюду, если задано значение ее нормальной производной в каждой точке внутренней границы. Однако если значение нормальной производной от в каждой точке внутренней границы известно, то известны и величина (результирующий объемный поток жидкости через внутреннюю границу) и нормальная производная от в каждой точке внутренней границы. Следовательно, задание нормальной производной от в каждой точке внутренней границы всюду однозначно определяет величину . (Аналогично, если заданы в каждой точке внутренней границы, то может существовать по крайней мере одно решение уравнения относительно

Сделанные выше замечания применимы к однозначным потенциалам скорости, и, следовательно, они применимы к разности двух многозначных потенциалов скорости, про которые известно, что они имеют одни и те же циклические постоянные. Поэтому, по аналогии с § 2.8, можно утверждать вообще, что двумерное безвихревое соленоидальное течение в области, ограниченной изнутри и простирающейся в бесконечность (где жидкость покоится), определяется однозначно, если заданы циклическая постоянная (или постоянные, если порядок связности больше двух) и нормальная компонента от в каждой точке внутренней границы. В случае течения в двусвязной области вне одиночного цилиндра с циклической постоянной х можно продвинуться еще дальше; простое решение уравнения Лапласа, имеющее такой же циклический характер (и не дающее никакого вклада в величину имеет вид где полярный угол в плоскости движения относительно начала координат в пределах внутренней границы, так что в этом случае

представляет собой однозначную функцию, к которой применимы полученные выше выводы и, в частности, точное выражение (2.10.3).

Теперь можно подробнее рассмотреть изменения функции на больших расстояниях от внутренней границы путем

разложения в степенной ряд по Если то можно представить в виде ряда Тейлора по х, подобного ряду (2.9.18), и подстановка этого ряда вместо в выражение (2.10.3) для в случае однозначной функции дает

где

Интегралы берутся по внутренней границе жидкости, элемент которой в дальнейшем обозначается через Фундаментальные решения уравнения Лапласа в двух измерениях, порождаемые членами этого ряда, а именно

называются круговыми гармониками целой степени, и они аналогичны по своей роли сферическим гармоникам из § 2.9. Величина

зависит только от направления вектора х, а из формы уравнения Лапласа в полярных координатах (см. приложение 2) следует, что если решение, то также будет решением, дающим соответствующую систему фундаментальных решений положительных степеней по

В случае многозначной функции соответствующей течению в двусвязной области вне цилиндра с циклической постоянной х, ряд (2.10.4) заменяется рядом

в котором коэффициенты равны соответствующим интегралам от функции и от ее нормальной производной на внутренней границе. Первый переменный член в правой части разложения (2.10.6) представляет собой потенциал, обусловленный точечным вихрем (т. е. прямолинейной вихревой нитью в трехмерном пространстве, см. интенсивности х в начале координат, и учитывает многозначность функции второй член представляет собой потенциал, обусловленный точечным источником интенсивности в начале координат, и учитывает, как уже отмечалось, результирующий поток через внутреннюю

ницу (как и в трехмерном пространстве он равен нулю, когда внутренняя граница твердая); третий член определяет потенциал от диполя источников (векторной) интенсивности в начале координат и т. д.

Многие из этих результатов можно естественно выразить через комплексный потенциал, введенный в § 2.7. Аналитическая функция от действительная часть которой представляет сумму потенциалов точечного вихря и точечного источника в разложении (2.10.6), имеет вид

Функция тока соответствующая этому комплексному потенциалу, многозначна вследствие существования ненулевого потока через внутреннюю границу, как можно было ожидать из определения функции в § 2.2. Многозначность функции аналогична многозначности функции с заменой на циклическую постоянную х, и в этом состоит другое проявление сопряженности функций в двумерном безвихревом соленоидальном течении. Комплексный потенциал, соответствующий другим членам в разложении (2.10.6), можно обнаружить с помощью соотношения

которое показывает, между прочим, что имеется только две независимые круговые гармоники степени а именно действительная и мнимая части от т. е. Таким образом, комплексный потенциал, соответствующий всему разложению (2.10.6), можно записать в виде ряда

с комплексными константами Действительная и мнимая части от связаны с действительными коэффициентами разложения (2.10.6), например

где индексами 1 и 2 обозначены компоненты в направлениях осей соответственно. Ряд в выражении (2.10.7) называется рядом Лорана для функции, аналитической и однозначной в области вне круга с центром в начале координат плоскости z и стремящейся к постоянной на бесконечности.