Автомодельное решение, когда скорость внешнего течения пропорциональна x^m

Семейство решений для установившегося двумерного течения, которое получили Фокнер и Скэн (1930), позволяет непосредственно выяснить, каким образом ускорение и замедление внешнего течения действуют на изменение вдоль границы толщины пограничного слоя и поверхностного трения. Как заметили Фокнер и Скэн, в случае, когда скорость внешнего течения имеет вид

где с константы, оказывается возможным получить решение уравнений пограничного слоя в форме

С учетом этих переменных и после исключения давления при помощи соотношения (5.7.8) для уравнение пограничного слоя (5.7.1) принимает вид

Это уравнение сводится при к уравнению (5.5.13), описывающему течение в окрестности критической точки на плоской стенке, а при к уравнению (5.8.6) для плоской пластины, расположенной вдоль однородного потока. Как мы увидим в § 6.5, распределение скорости (5.9.2) осуществляется на поверхности клина с углом полураствора помещенного симметрично в безвихревой поток невязкой жидкости (координата х

Рис. 5.9.1. Автомодельные распределения скорости в пограничном слое при скорости внешнего потока

измеряется от вершины клина). Тогда уравнение (5.9.4) можно считать описывающим течение в пограничном слое на поверхности некоторого клина с отрицательным значением которое соответствует течению на плоской пластине, наклоненной в сторону от потока; правда, при этом бесконечное значение при для не может быть реализовано на практике. Однако важность задачи не всегда определяется возможностью приложения результатов.

Граничные условия на внутренней и внешней границах слоя таковы:

При нельзя наложить какие-либо условия, так как предполагаемая форма решения (5.9.3) такова, что изменение и по у имеет одинаковый вид при любых значениях х. Решения уравнения (5.9.4) при выписанных граничных условиях были получены численно Хартри (1937) для многих значений параметра а соответствующие профили скорости для нескольких из этих значений показаны на рис. 5.9.1; в качестве абсциссы для этих графиков взята величина поскольку при численном интегрировании она оказалась более удобной переменной, чем Когда решение неединственно, и на рис. 5.9.1 показаны те решения для отрицательных значений которые представляются физически «разумными» и которые гладко сопрягаются с решениями для положительных значений

Толщина вытеснения и напряжение трения на стенке, скажем являются двумя наиболее важными параметрами решения при каждом значении Из (5.9.3) мы имеем

Эти соотношения явно показывают, каким образом толщина пограничного слоя и напряжение трения на стенке при определенном зависят от показателя степени в распределении скорости ускоряющегося или замедляющегося внешнего течения. При оказывается, что напряжение на стенке постоянно; в этом случае эффект увеличения градиента скорости на стенке из-за ускорения внешнего потока в точности уравновешивается противоположным эффектом диффузии, приводящей к утолщению пограничного слоя.

Как следует из соотношений (5.9.5) и (5.9.6), в поведении величин не происходит резких изменений при любых отрицательных значениях однако такие изменения имеются в профилях скорости, показанных на рис. 5.9.1. Видно, что профили для замедляющихся внешних течений имеют точку перегиба. Это свойство является общим, как можно убедиться, если взять уравнение движения на границе слоя в виде

величина для замедляющегося внешнего течения положительна на стенке, а так как при , то должна изменить знак при некотором значении у. При (т. е. ) точка перегиба расположена на границе. По мере уменьшения от нуля положительное значение на стенке возрастает, а это вместе с ограничением при приводит к непрерывному уменьшению При (это наименьшее значение для которого было получено полное численное решение) градиент скорости на стенке обращается в нуль, что приводит к несколько необычному пограничному слою, в котором сила трения на стенке равна нулю при любом х.

Важный вывод из рассмотрения семейства решений Фокнера — Скэн состоит в том, что для скорости внешнего потока вида его наибольшее замедление, при котором еще может быть получено автомодельное решение без обратного течения, соответствует величине . При этом значении направленная вперед сила трения, которая действует на внешние слои жидкости,

достаточна для предотвращения обратного движения слоя жидкости вблизи границы под действием положительного (или, как иногда говорят, обратного) градиента давления. Примечательно, что это критическое значение близко к нулю.

Автомодельные решения уравнения пограничного слоя можно получить также для скорости внешнего потока в форме (5.9.2) при в представлении должно быть заменено на и это приведет к изменению знака члена в уравнении (5.9.4). Внешний поток в этом случае течет к началу отсчета координаты х с ускорением при Интересный побочный результат проведенного анализа состоит в том, что при мы легко повторяем решение (5.6.12), найденное раньше для распределения скорости вблизи одной стенки сужающегося канала, в котором при большом числе Рейнольдса всюду существует установившееся радиальное течение.