Преобразование границы в бесконечную прямую

В случаях безвихревого течения с непроницаемой внешней или внутренней границей и с неподвижной в бесконечности жидкостью часто бывает удобно преобразовать поле течения таким образом, чтобы граница преобразовалась в бесконечную прямую, а область течения — в полуплоскость. Предположим, например, что нужно определить безвихревое течение в области плоскости ограниченной двумя прямыми стенками, пересекающимися под углом кроме того, могут быть еще какая-нибудь граница и какое-нибудь движение на большом расстоянии от вершины угла, которые сейчас нет необходимости точно определять. Преобразование «раскрывает» область в виде угла между двумя пересекающимися стенками плоскости z в верхнюю полуплоскость плоскости (отметим особенность преобразования в точке пересечения сторон угла преобразуемого в угол ), после чего сразу определяется соответствующее течение в плоскости Единственным возможным безвихревым течением в верхней полуплоскости обусловленным действием удаленного источника движения, в том смысле, что любая неоднородность течения вблизи точки вызывается исключительно неоднородностью границы, является равномерный поток, параллельный границе с комплексным потенциалом

где А — действительная постоянная; тогда искомое безвихревое течение в плоскости z имеет потенциал

что уже было установлено обратным способом.

Случаи безвихревого течения в области, ограниченной извне замкнутым многоугольником, у которого одна или несколько вершин могут быть расположены на бесконечности, всегда можно изучить с помощью теоремы Кристоффеля-Шварца, которая гласит, что граница в виде многоугольника в плоскости z с внутренними углами отображается на действительную ось плоскости с помощью преобразования

где К — постоянная, а параметры a, b, c — (действительные) значения соответствующие вершинам многоугольника. Получающаяся область течения в плоскости представляет собой верхнюю полуплоскость и снова можно при известных причинах движения записать выражение для комплексного потенциала через

Если одна вершина многоугольника находится в бесконечности, то связанный с ней внешний угол, например а, равен нулю; в таком случае без потери общности можно считать, что соответствующая точка также расположена в бесконечности, так что сомножитель в (6.5.13) по существу постоянен и его можно включить в новую постоянную К. Например, полубесконечная полоса в плоскости отображается на верхнюю полуплоскость плоскости с помощью преобразования

или

Точки соответствуют вершинам «треугольника» в плоскости причем постоянные и К можно определить по положению и ширине заданной полубесконечной полосы; постоянные и с определяют положение действительной оси и линейный масштаб в плоскости и могут быть выбраны произвольными. Общий случай с двумя вершинами многоугольника в плоскости расположенными на бесконечности, более труден, хотя, если эти вершины единственные, что дает бесконечную полосу, требуемое преобразование следует либо непосредственно из выражения (6.5.13) при либо косвенно, принимая, что в (6.5.14)

Так или иначе получаем

Ширина полосы, как и раньше, равна Соответствие между некоторыми линиями в плоскостях для этого простого и полезного преобразования показано на рис. 6.5.2 (на котором штрихи в обозначениях опущены).

Указанные преобразования поля течения с внешней границей многоугольной формы сами по себе не имеют большого практического значения, поскольку эти границы редко встречаются, однако такие преобразования часто полезны как промежуточные. Один пример подобного их применения будет дан в § 6.13 в теории некоторых интересных течений со «свободными» линиями тока.

Рис. 6.5.2. Конформное отображение бесконечной полосы в плоскости на верхнюю полуплоскость с помощью функции где К — действительная положительная постоянная.

Преобразование замкнутой границы, в окружность

Другой метод решения состоит в отыскании преобразования, которое отображало бы область вне данной замкнутой кривой из плоскости z в область вне окружности в плоскости Наиболее важное применение этого метода относится к течениям, вызванным твердым цилиндром, движущимся через покоящуюся на бесконечности жидкость, и он будет описан применительно к этому случаю. Так как общая цель состоит в том, чтобы получить новое более простое течение, то желательно использовать преобразование, которое превращало бы простое движение на бесконечности в плоскости z в такое же простое движение в некоторой части плоскости очевидно, что задача состоит в нахождении такой аналитической функции чтобы

так что жидкость в плоскости также простирается в бесконечность и имеет там такое же движение, как и в плоскости Основной результат преобразования сводится к изменению формы внутренней границы и к изменению течения в ее окрестности.

Полный потенциал течения в плоскости должен удовлетворять условию отсутствия движения на бесконечности и условию непроницаемости (6.5.11), выраженному в координатах на окружности; кроме того, если течение в плоскости z циклическое, то в плоскости как объяснялось выше, оно тоже циклическое с той же постоянной и. Успех метода зависит от выражения (6.5.11) в плоскости Теперь, когда использование осей, связанных с телом, приводит к замене условия на внутренней границе в плоскости z условием а на внешней границе — условием

Соответствующие условия в плоскости таковы: на внутренней границе в форме окружности а на внешней границе

иначе говоря, течение в плоскости представляет собой обтекание неподвижного кругового цилиндра потоком с постоянной скоростью на бесконечности и с циркуляцией и вокруг него. Комплексный потенциал такого течения известен. При желании мы могли бы воспользоваться системой координат в плоскости относительно которой жидкость на бесконечности находится в состоянии покоя; в этом случае условием на внутренней границе (на окружности) было бы

для поступательного движения со скоростью кругового цилиндра в плоскости Однако следует отметить, что два соответствующих течения с общим комплексным потенциалом обычно записываются относительно осей координат, связанных с внутренними границами, а не с неподвижной на бесконечности жидкостью. Только когда внутренняя граница представляет собой линию тока, эти течения в двух плоскостях соответствуют друг другу; соответствие нарушается, если движение относится к другой системе координат, так как однородный поток в одной плоскости соответствует течению в другой плоскости, однородному только на бесконечности.

Таким образом, для любого преобразования, удовлетворяющего условию (6.5.16), течение в плоскости которое соответствует обтеканию тела однородным потоком с постоянной скоростью на бесконечности в плоскости представляет собой обтекание преобразованного тела потоком с той же постоянной скоростью на бесконечности. Такое рассуждение и его вывод неприменимы к вращению тела в плоскости к, так как выбор системы координат, связанный с телом, приводит к вращательному движению жидкости. Исследование течения, вызванного вращающимся цилиндром, требует применения более специальных методов и ниже мы рассматриваем только поступательное движение.

Метод определения течения, вызванного цилиндром данной формы в поступательном движении, требует, следовательно, знания а) комплексного потенциала обтекания кругового цилиндра, помещенного в поток с заданной скоростью и при заданной циркуляции скорости, и б) аналитической зависимости между z и обеспечивающей отображение внешности цилиндра из плоскости z на внешность круга в плоскости при выполнении условия

на бесконечности (6.5.16). Что касается пункта а), то необходимо только вспомнить результаты, полученные в § 2.10. Из выражения потенциала скорости (2.10.12) однозначная часть потенциала скорости течения в плоскости вызванного круговым цилиндром радиуса с, помещенным в поток с постоянной скоростью на бесконечности и имеющим центр в точке (обобщение, которое потребуется позже), равна

Влияние циркуляции сводится к прибавлению к потенциалу скорости члена (см. (2.10.15))

Соответствующий комплексный потенциал (аналитическая функция от действительная часть которого равна имеет вид

(при на внутренней границе).

Что касается пункта б), то детали расчета зависят от формы цилиндра, хотя можно сделать одно общее замечание об указанном отображении. Поскольку зависимость между аналитическая всюду в области на плоскости вне круга радиуса с и удовлетворяет условию (6.5.16) на больших расстояниях от начала координат, то можно представить z как функцию от в виде ряда Лорана

в котором комплексные коэффициенты зависят от формы цилиндра. Опуская постоянный член мы выбираем начало координат в плоскости так, что при наложении одной плоскости на другую с совпадением бесконечно удаленных точек оно совпадает с началом координат в плоскости при этом положение центра круга в плоскости не произвольно. Ряд (6.5.19) можно обратить и получить ряд

справедливый для достаточно больших значений коэффициенты которого отличаются от коэффициентов

это — общее выражение, принимаемое аналитической функцией при достаточно больших значениях Комплексный потенциал обтекания данного цилиндра в плоскости z получается путем подстановки функции в выражение для и оказывается, что на достаточно больших расстояниях от цилиндра функцию можно представить в виде

где

Примеры приложений этого метода конформного отображения для определения течения, вызванного движущимися телами, будут приведены в следующих двух параграфах.