7.4. Установившееся двумерное вихревое движение жидкости
В двумерном течении уравнение сохранения массы будет выполнено тождественно, если компоненты скорости 
записать с помощью функции тока 
Тогда величина вектора завихренности, который всюду нормален плоскости (х, у) течения, будет определяться выражением
Как было установлено (см. (7.1.6)), в двумерном течении завихренность каждого элемента жидкости постоянна; в случае установившегося движения траектории частиц совпадают с линиями тока. Следовательно, завихренность со имеет одно и то же значение во всех точках линии тока и ее, очевидно, можно записать как функцию только 
скажем, 
Таким образом, имеем уравнение
которое определяет распределение скорости в установившемся течении, как только функция 
задана.
Величина 
постоянна вдоль линии тока и, следовательно, также зависит только от 
Теперь (7.1.8) можно переписать в виде
отсюда получаем одно скалярное соотношение
Величину 
можно определить путем интегрирования, если известна функция 
после чего получается явное выражение для давления.
Итак, если распределение завихренности по различным линиям тока известно, то математическая часть решения задачи об установившемся двумерном течении ясна (хотя аналитическое определение 
из уравнения (7.4.1) может оказаться нелегким делом). Распределение завихренности может быть задано произвольным, если мы ограничиваемся теорией невязкой жидкости. На практике
же распределение завихренности определяется историей формирования установившегося течения, которая в свою очередь в значительной степени зависит от влияния вязкости. Обычно нет возможности подробно проанализировать процесс формирования установившегося течения, и поэтому функцию 
удается определить только в простых случаях.
Возможные решения уравнений движения невязкой жидкости можно исследовать путем задания того или иного вида функции 
в уравнении (7.4.1). Удобно, например, взять 
что приводит к линейному уравнению
которое известно из теории поперечных колебаний упругой мембраны с закрепленной границей в плоскости (х, у) и с в качестве прогиба мембраны; решение этого уравнения получено для различных границ мембраны, на которых 
постоянна, — круговой, прямоугольной, треугольной; однако остается неизвестным, при каких условиях могут существовать и существуют ли вообще соответствующие поля течений.
Другое простое решение, имеющее и практическое значение, получается в случае, когда завихренность во всей жидкости считается постоянной и равной, скажем, 
Уравнение для 
— это уравнение Пуассона с постоянной правой частью, которое уже встречалось в § 4.1 при совсем других обстоятельствах. (Это уравнение справедливо и для установившегося, и для неустановившегося течения, когда (о постоянна, хотя граничные условия в обоих случаях не будут одинаковыми.) Уравнение (7.4.3) при 
можно проинтегрировать и в результате получить
или, обозначая через 
модифицированное давление, учитывающее влияние силы тяжести, найти
В остальной части данного параграфа мы обсудим три различных частных случая этого однородного распределения завихренности.
