Влияние изменения внешней скорости на изолированный вихрь

Особенно интересное осесимметричное закрученное течение связано с так называемым свободным или изолированным вихрем, т. е. с вихревой трубкой, помещенной в безвихревой поток. При рассмотрении издали вихрь такого типа представляется просто вихревой нитью (5.2.6), определяемой только величиной циркуляции по любому охватывающему ее замкнутому контуру; однако при более внимательном рассмотрении оказывается, что этот вихрь имеет структуру с некоторым распределением завихренности внутри вихревой трубки. По-видимому, наиболее простым примером может служить распространяющаяся вихревая нить (§ 4.5); структура такого вихря полностью определяется вязкой диффузией завихренности от оси вихря. Другой пример вихря со структурой был рассмотрен в конце § 5.2; там завихренность была всюду параллельной оси вихря, а течение было установившимся в результате баланса между радиальной конвекцией завихренности, направленной внутрь вихря, и распространением завихренности наружу за счет вязкой диффузии.

В рассматриваемых здесь течениях жидкости с пренебрежимо малой вязкостью вихревые линии движутся вместе с жидкостью и мы будем предполагать движение установившимся. Кроме того, мы будем пренебрегать влиянием кривизны оси вихря.

В случае строго цилиндрического вихря внутри него возможны любые распределения ; по Интересно рассмотреть такие распределения скорости в вихре, которые типичны для практических условий; с этой целью мы можем исследовать те изменения в структуре вихря, которые происходят, когда жидкость, содержащая вихрь, проходит через область нецилиндрического течения. Для этого удобно взять вихрь, цилиндрический на некотором участке своей длины с простым распределением величин по и рассмотреть свойства этого вихря в некотором другом сечении, где течение снова становится цилиндрическим. Для начального цилиндрического участка с математической точки зрения удобно выбрать внутри вихря однородное распределение компоненты и и осевой компоненты завихренности; по-видимому, этот выбор также вполне подходит для любых значений вихрей, которые на некотором этапе развития подвержены сглаживающим эффектам вязкости.

Таким образом, вихрь на некотором участке его длины определяется распределением скорости

при выполнении условий

Рис. 7.5.5. Свойства вихрей при увеличении или уменьшении осевой скорости. По оси абцисс отложены значения величины

в безвихревом потоке, окружающем этот участок вихря. Теперь предположим, что на некотором другом участке того же вихря далеко вниз по потоку безвихревое течение вне его не зависит от х и имеет распределение скорости

По предположению вихрь снова будет цилиндрическим (хотя и не исключена возможность волнообразного движения) с другим радиусом и распределением скорости, определяемым подходящим решением уравнения (7.5.17). Поскольку все компоненты скорости остаются непрерывными на границе вихря, в качестве граничных условий для решения уравнения (7.5.17) имеем

и еще неявное граничное условие, состоящее в том, что и не имеет особенности при так что в общем решении (7.5.18) следует сохранить только член Таким образом, искомое решение идентично уже найденному для течения в цилиндрической области вниз по потоку в трубе радиуса где определяется из соотношения (см.

здесь Когда радиус вихря известен, распределение скорости в вихре определяется соотношениями (7.5.22) и (7.5.23), в которых следует заменить на

В случае вихря бесконечно малого поперечного сечения из (7.5.25) видно, что также мало и что

Это значение для в точности то же, что требуется для выполнения уравнения сохранения массы в течении, в котором осевая скорость всей жидкости в вихре изменяется от до (как это было бы в отсутствие закрученного движения). Величину удобно использовать в качестве стандартной для сравнения со значениями из (7.5.25), которые определяются с учетом влияния закрученности течения. На рис. 7.5.5 показаны значения (отношение вычисленные по (7.5.25) при различных значениях и при различных отношениях внешних осевых скоростей, равных 2 и 1/2. Чтобы показать соответствующие изменения в распределении осевой скорости (а следовательно, и азимутальной, так как обе они определяются через поперек вихря, было вычислено с использованием (7.5.24) и (7.5.25) отношение осевой скорости в центре вихря к скорости на границе:

графики этой зависимости показаны на рис. 7.5.5. Известно, что значения порядка единицы достигаются в случае вихрей, сбегающих с боковой кромки крыла самолета (§ 7.8); по-видимому, когда осевая скорость в безвихревом потоке, окружающем такой вихрь, заметно изменяется, должны происходить значительные изменения в структуре вихря, особенно если внешний поток замедляется. Развитие быстрого изменения осевой скорости поперек вихря, вероятно, должно быть характерной чертой вихрей, проходящих через область неоднородного безвихревого течения при значениях порядка единицы.

Общий характер поведения кривых на рис. 7.5.5 можно выяснить качественно, воспользовавшись выражением (7.5.12) для радиального градиента давления. В области вниз по потоку в интервале циркуляция С постоянна, а при уменьшении а от до нуля она уменьшается до нулевого значения. Вследствие этого разность между давлением в вихре, скажем на его оси, и давлением вдали от вихря в плоскости, нормальной к его оси, сильно зависит от величины увеличение соответствует уменьшению этой разности давлений, и обратно. Таким образом, когда жидкость вне вихря замедляется, а радиус вихря увеличивается с увеличением расстояния в направлении течения, должен существовать дополнительный осевой градиент давления внутри вихря, который должен быть положительным и, следовательно, приводить к уменьшению скорости на оси и к дальнейшему утолщению вихря. Итак, ускорение или замедление жидкости вне

вихря приводит к изменению осевой скорости жидкости внутри вихря; знак этого изменения совпадает со знаком изменения внешней скорости, а величина изменения больше, чем изменение внешней скорости; кроме того, изменяется радиус вихря, причем это изменение больше, чем следовало бы ожидать, если бы осевая скорость была постоянна по всей поперечной плоскости.

Требуют упоминания еще две особенности кривых на рис. 7.5.5, относящихся к случаю Первая состоит в том, что при некотором значении осевая скорость в центре вихря становится равной нулю. Как отмечалось выше, продолжение решения в область таких сочетаний величин для которых осевая скорость отрицательна, не имеет смысла, так как крайне маловероятно, чтобы жидкость, приходящая из областей вниз по потоку, на практике имела бы предполагаемую зависимость от Вторая интересная особенность заключается в существовании критического значения (немного превосходящего то значение, при котором возникает обратное течение), при превышении которого никакое не удовлетворяет уравнению (7.5.25), и, по-видимому, радиально равновесное течение невозможно.

Подобные особенности течения проявляются, когда мы обсуждаем изменения, происходящие в цилиндрической области при уменьшении отношения непрерывно от единицы, считая фиксированным, хотя мы не должны забывать о том, что направление этих изменений зависит от величины Соотношение (7.5.25) показывает, что знаки величин

совпадают. Теперь, если близко к единице, то и это означает, что знаком отношения определяется начальное направление изменений радиуса вихря и распределения скорости поперек вихря. В интервале (внутри которого обычно лежат встречающиеся на практике значения происходит «естественное» поведение величин: увеличение радиуса вихря и убывание осевой скорости на его оси при уменьшении Однако в интервале (между первыми нулями функций осевое замедление внешнего потока приводит к меньшим значениям радиуса вихря и к увеличению осевой скорости на его оси. Из вида соотношения (7.5.25) можно также заметить, что, каково бы ни было фиксированное значение невозможно найти значение удовлетворяющее соотношению (7.5.25), если величина взята меньше некоторого критического (минимального) значения. На рис. 7.5.6 схематически показано изменение в соответствии с (7.5.25) величины в зависимости от при различных постоянных

Рис. 7.5.6. Схематическая зависимость радиуса вихря от осевой скорости Различные кривые относятся к различным значениям величины стрелки указывают направление изменения параметров от течения, соответствующего цилиндрическому вихрю радиуса а с вращением жидкости как твердого тела.

значевиях в интервале между и 3,83. Для значений превышающих 3,83, получается подобное семейство кривых, сходящихся в точке в которой

Возрастание толщины вихря, которым сопровождается замедление внешнего потока (когда лежит между нулем и 2,40), очевидно, станет чрезвычайно большим при критическом (минимальном) значении Известно замечательное явление, называемое «разрушением вихря» или «взрывом вихря», которое на первый взгляд похоже на проявление этого быстрого увеличения диаметра вихря при уменьшении внешней осевой скорости до некоторого значения. Наблюдения за полоской краски внутри интенсивного установившегося вихря показывают, что при определенных условиях (которые еще не достаточно выяснены, но, по-видимому, включают замедление внешнего потока) вихрь может внезапно увеличиться или «взорваться», порождая беспорядочное движение совсем другого вида. На фото 7.5.7 показаны два таких «взрывающихся» вихря в воде; вихри представляют собой часть спутной системы вихрей треугольного крыла, слегка наклоненного к набегающему потоку. Более подходящее объяснение разрушения вихря (Бенджамен связано с рассмотрением скачкообразного перехода от одного цилиндрического течения к другому, которое может существовать при той же самой внешней осевой скорости (возможность существования двух цилиндрических течений при заданных значениях очевидна из графиков рис. 7.5.6); внезапный переход подобного рода аналогичен известному гидравлическому прыжку в потоке воды в открытом канале; согласно этой теории, разрушение вихря наступает до того момента, когда станет близкой к критическому значению.