(в) Центробежное течение жидкости, вызванное вращающимся диском

В первом из рассмотренных примеров течений конвекция завихренности в направлении к границе была обусловлена отсосом жидкости через границу, а во втором — наличием внешнего течения, направленного к границе; здесь мы рассмотрим третий случай, когда течение к границе вызывается действием центробежных сил на вихревой слой. Пусть плоский диск большого диаметра, помещенный в первоначально покоящуюся жидкость, приведен во вращение в своей плоскости с постоянной угловой скоростью В результате относительного движения диска и жидкости возникают вязкие напряжения, которые стремятся заставить жидкость вращаться вместе с диском. Вблизи поверхности диска невозможно существование в точности кругового движения жидкости, поскольку нет никакого внешнего радиального градиента давления для создания направленного к центру ускорения жидкости; следовательно, вблизи диска жидкость будет двигаться по расходящимся от центра диска спиралям. Это растекающееся от центра радиальное течение вблизи диска должно сопровождаться в соответствии с законом сохранения массы некоторым осевым течением, направленным перпендикулярно к плоскости диска; под действием этого течения завихренность, возникающая у границы, будет

удерживаться от распространения далеко во внешнюю область. Таким образом, действие вращающегося диска на жидкость подобно центробежному вентилятору, который отбрасывает в радиальных направлениях воздух и подсасывает на его место новые порции.

Результирующее установившееся течение на первый взгляд кажется весьма сложным для аналитического описания, однако благодаря тому, что окружная скорость диска линейно зависит от радиального расстояния зависимость радиальной скорости жидкости от тоже оказывается линейной; вследствие этого точно так же, как и для течения в окрестности критической точки, вихревой слой имеет постоянную толщину. Как было впервые отмечено Карманом (1921), уравнения движения и соответствующие граничные условия допускают решение, в котором величины зависят только от здесь компоненты скорости вдоль координатных линий соответственно в цилиндрической системе координат, в которой на оси диска. С учетом указанной зависимости компонент скорости от z из уравнения (установившегося) движения в проекции на ось z следует, что выражение для давления должно иметь вид

где зависит только от Далее, поскольку вдали от диска жидкость не вращается и, по-видимому, там нет и радиального движения, то давление при больших z не должно зависеть от следовательно, Уравнения движения в проекциях на координатные линии (см. приложение 2) записываются следующим образом:

Дополнительно имеем уравнение сохранения массы

которое позволяет исключить компоненту и из (5.5.17) и (5.5.18).

Граничные условия для решения этих уравнений — это условия прилипания

и условия на бесконечности

Мы пока не будем задавать какие-либо условия на компоненту при так как мы ожидаем, что вдали от диска должно

Рис. 5.5.3. Безразмерные функции, определяющие компоненты скорости течения, вызванного вращающимся диском.

быть осевое течение к диску, возникающее в результате центробежного эффекта вблизи диска; в подтверждение этого предположения заметим, что выписанные выше уравнения и граничные условия фактически полностью определяют компоненту

В задаче имеется только два размерных множителя которые определяют масштабы скорости и длины. Введем новые переменные

которые позволяют уравнения (5.5.17) и (5.5.18) записать в безразмерном виде:

с граничными условиями

Аккуратное численное решение, удовлетворяющее этим уравнениям и граничным условиям, было получено Кокраном (1934); на рис. 5.5.3 показаны графики функций и функции (пропорциональной компоненте скорости ). Поведение этих функций показывает, что действие диска подобно вентилятору и сопровождается осевым движением жидкости к диску, которое препятствует распространению завихренности вдаль от диска.

Условимся определять внешнюю границу вихревого слоя как геометрическое место точек, для которых тогда толщина слоя будет постоянной и равной Вне вихревого слоя осевая скорость постоянна и равна эта скорость притока жидкости уменьшается с уменьшением поскольку при этом слой становится тоньше и меньшее количество жидкости требуется для замещения жидкости, перетекающей в радиальных направлениях. Полный поток жидкости через цилиндрическую поверхность радиуса равен

Один из способов проверки соответствия между полученным численным решением и экспериментальными данными состоит в измерении крутящего момента, развиваемого на обеих сторонах вращающегося тонкого диска конечного радиуса а. Строго говоря, полученное выше решение применимо к бесконечному диску, однако при условии, что толщина слоя завихренности мала по сравнению с радиусом диска, т. е. при в этом случае влияние края диска разумно считать малым. Касательное напряжение на поверхности диска равно

и, следовательно, крутящий момент, возникающий за счет действия жидкости на обеих сторонах диска радиуса а, равен

Согласно численному решению Кокрана, . Это значение находится в хорошем соответствии с измеренной величиной в том случае, когда меньше, чем (но намного больше единицы); при значениях превышающих 105, течение становится неустойчивым и установившееся движение практически не может быть реализовано.

Если окружающая вращающийся диск жидкость на больших расстояниях от диска находится в состоянии квазитвердого вращения с угловой скоростью, скажем, относительно оси вращения диска, то, по-видимому, существует установившееся течение, представимое в автомодельной форме (5.5.19), хотя для всего диапазона изменения отношения точное описание поля течения получить не удается. Аналитически эта задача не очень сильно отличается от описанной выше. На больших расстояниях от диска давление теперь равно так что мы должны положить в (5.5.16) и добавить член в правую часть уравнения (5.5.17). Наконец, еще одно изменение состоит в замене граничного условия при на при Однако

численное решение уравнений оказывается теперь более сложным, особенно если имеют противоположные знаки.

В том случае, когда диск и жидкость на бесконечности вращаются почти с одной и той же угловой скоростью, решение уравнений можно получить в явном виде. Это явное решение нельзя использовать для показа накопления завихренности у границы под действием конвекции, однако мы дадим краткое его описание, поскольку это решение оказывается неожиданным образом связано с предыдущим изложением. В данном случае мы, очевидно, можем положить

и тогда из (5.5.21) следует, что В силу первого порядка малости величин уравнения (5.5.20) и (5.5.21) с учетом приведенного выше выражения для давления принимают следующий вид:

Легко показать, что всем граничным условиям удовлетворяет решение

Покажем, что полученное решение приближенных уравнений совпадает со спиральным распределением скорости в слое Экмана вблизи твердой границы (см. § 4.4), над которой происходит течение во вращающейся жидкости. Радиальная и азимутальная компоненты скорости в данном случае равны

и они соответствуют компонентам скорости в плоскости границы в (4.4.16) и (4.4.15). Рассмотрим вызванное диском течение жидкости, вращающейся с угловой скоростью, близкой к угловой скорости вращения диска, в системе координат, связанной с ним. В этом случае радиальная и азимутальная компоненты скорости малы по сравнению с а компонента завихренности, параллельная оси вращения, мала по сравнению с Это в точности соответствует тем условиям, когда силы Кориолиса намного превышают силы инерции (получается так называемое геострофическое течение, о котором более подробно будет сказано в § 7.6, 7.7), и наша аппроксимация (5.5.23) равносильна предположению об отсутствии локальных изменений скорости вдоль линий тока. Условие постоянства скорости вдоль линии тока во вращающейся

системе координат было тем предположением, на котором основывался анализ в § 4.4, поэтому становится понятной идентичность полученных двух решений. Следует отметить, что чистый перенос в слое Экмана происходил в направлении, противоположном градиенту модифицированного давления; применительно к данной задаче это соответствует чистому переносу вдоль радиуса к центру диска при и от центра диска при величина этого переноса пропорциональна . В соответствии с этим подобный перенос может осуществляться и в вязком слое на вращающемся диске, если имеется компенсирующая постоянная осевая компонента скорости, которая обеспечивает удаление жидкости из слоя при приток ее в слой при это уже было установлено ранее.

Легко можно показать, что скорость притока или оттока жидкости из вязкого слоя, т. е. предельное значение при определяемое интегрированием выражения (5.5.25), в точности равняется величине, получаемой из уравнения сохранения массы и объемного потока жидкости (4.4.17) в направлении, противоположном градиенту давления в слое Экмана.