Вихревые кольца

Известным и интригующим примером течения с круговыми вихревыми линиями служит «дымовое кольцо», которое можно образовать, если внезапно выдуть изо рта клуб дыма, скруглив при этом губы; такое кольцо движется в воздухе поступательно и равномерно и имеет ядро, наполненное дымом. Существенное требование при получении вихревого кольца (это более подходящее название) заключается в том, что сообщаемое жидкости количество движения должно обладать осевой симметрией; роль дыма сводится просто к тому, что он позволяет видеть некоторую часть жидкости. Вихревое кольцо в принципе проще всего получить, резко ударив по круговому диску в нормальном к нему направлении и притормозив его; практическое неудобство этого способа

в том, что свободно движущееся вихревое кольцо будет приближаться к диску, который будет препятствовать его движению; правда, этого можно избежать, погрузив круговой диск наполовину в жидкость со свободной поверхностью и, когда начнется горизонтальное движение жидкости, быстро выдернув его. Более общий способ основан на использовании круглого отверстия, типа отверстия в плоском твердом листе, или трубы с открытым концом, через которые «выстреливается» некоторое количество жидкости; при этом образуется вихревое кольцо, движущееся от отверстия. На фото 7.2.2 показаны различные стадии образования вихревых колец при эжектировании малых порций жидкости из конца трубы. Довольно неожиданно вихревое кольцо можно получить даже при выдувании небольшого объема воздуха из верхнего конца вертикальной трубки, находящейся в баке с водой (Уолтере и Дэвидсон (1963)); возникающее при этом вихревое кольцо, или газовый пузырь тороидальной формы, движется вертикально вверх, а его радиус, как показывают наблюдения, увеличивается; увеличение радиуса, по-видимому, объясняется действием силы плавучести, которая приводит к увеличению импульса жидкости (см. (7.2.14)). Еще один способ получения вихревых колец, иллюстрируемый на фото 7.2.3, состоит в том, что при вертикальном падении капель жидкости на свободную поверхность той же жидкости в последней образуются вихревые кольца.

С теоретической точки зрения замечательным свойством всех наблюдаемых вихревых колец в однородной жидкости является приближенно стационарное движение относительно вихревого кольца, если кольцо достаточно удалено от его генератора. Конечно, всегда имеется некоторое затухание движения, которое обусловлено, по-видимому, действием вязкости, но затухание для больших колец меньше, чем для маленьких; это наводит на мысль о том, что строго установившееся движение должно достигаться при бесконечном числе Рейнольдса. Мы видели, что круговая вихревая нить обладает этим свойством установившегося движения, хотя скорость ее перемещения бесконечна. По крайней мере некоторые из наблюдаемых вихревых колец приближенно похожи на вихревую нить, завихренность которой сосредоточена в трубке малого (но ненулевого) поперечного сечения и которая перемещается установившимся образом в направлении оси симметрии.

Из-за незнания точной формы поперечного сечения трубки, содержащей завихренность (которая согласовывалась бы с установившимся характером движения), математическое изучение таких вихревых колец является трудным делом. Однако когда поперечное сечение мало, эта трудность уменьшается, поскольку криволинейная граница поперечного сечения служит линией тока установившегося течения относительно осей координат, движущихся вместе с кольцом (поскольку вихревые линии переносятся вместе

с жидкостью); эта граница имеет приближенно круговую форму, если преобладает циркуляционное движение вокруг близлежащей части вихревой трубки. Из формулы (7.1.13) для индуцированной скорости жидкости в окрестности криволинейной вихревой нити можно заключить (и подробный анализ подтверждает это), что в случае почти однородного распределения завихренности в тороидальном ядре с поперечным сечением в виде круга малого радиуса скорость движения такой вихревой трубки постоянной кривизны задается логарифмическим законом возрастания, усеченным на границе ядра и, таким образом, асимптотически эта скорость имеет величину

Следовательно, с увеличением радиуса кольца а скорость его движения уменьшается. Формула (7.2.10) показывает, что импульс жидкости для вихревого кольца, радиус ядра которого мал, приближенно не зависит от размеров сечения ядра и, таким образом, определяется тем же соотношением (7.2.14), что и для круговой вихревой нити. Полная кинетическая энергия жидкости теперь уже не будет бесконечной, и, поскольку рассматривается асимптотический случай ее величину найти просто. С этой целью заметим, что кинетическая энергия жидкости для прямолинейной вихревой нити напряженности х в области между внутренним круговым цилиндром радиуса и внешним — радиуса равна в расчете на единицу длины вихревой нити. Для вихревого кольца это дает следующую величину кинетической энергии:

в чем можно убедиться, использовав соотношение (7.2.11) и то обстоятельство, что на малом расстоянии от вихревой нити функция тока имеет порядок Таким образом, скорость перемещения вихревого кольца приближенно равна

Течение, вызванное вихревым кольцом малого кругового поперечного сечения, приближенно определяется параметрами это справедливо только для области вне ядра кольца, а внутри ядра движение зависит от фактического распределения завихренности. Любые два из приведенных параметров можно заменить

импульсом жидкости (7.2.14) и полной кинетической энергией (7.2.16). Способ определения этих трех независимых параметров практически зависит от механизма получения вихревых колец, детали которого часто остаются неясными. В случае вихревого кольца, возникающего при внезапном движении кругового диска радиуса в направлении по нормали к его плоскости, мы можем предположить, что в момент достижения диском скорости У он каким-то способом удаляется из жидкости и не оказывает непосредственного влияния на ее дальнейшее течение. Импульс жидкости и кинетическая энергия движения, связанного с вихревым кольцом, имеют при этом точно такие же значения, как при движении кругового диска со скоростью , а циркуляцию для вихревого кольца можно считать равной разности между значениями потенциала скорости в центральных точках на разных сторонах диска; согласно приведенным в § 6.8 формулам,

Теперь из (7.2.14) и (7.2.16) определяются размеры получающегося вихревого кольца:

а из (7.2.15) находится скорость его движения, равная следует, однако, отметить, что отношение здесь, по-видимому, недостаточно мало для вполне аккуратного применения формул (7.2.15) и (7.2.16).

Можно считать, что два из трех параметров течения, вызванного вихревым кольцом с малым радиусом ядра, определяют масштабы длины и скорости поля течения. Таким образом, в системе координат, движущейся вместе с кольцом, скорость жидкости в произвольной точке х (не лежащей внутри ядра кольца) можно записать в виде

произвольная функция указанных аргументов; таким образом, имеется бесконечное однопараметрическое семейство таких вихревых колец, соответствующих различным значениям отношения Основным эффектом изменения величины (не учитывая детально картину течения в ядре и вблизи него) будет изменение скорости перемещения вихревого кольца. Следовательно, путем наложения постоянной осевой скорости — на линии тока, показанные на рис. 7.2.4 и определяемые только величинами мы получим некоторое приближение к установившимся картинам течения при различных (малых) значениях Этим способом мы можем найти последовательность картин течений вида, показанного на рис. 7.2.4. По мере

Рис. 7.2.4. Схема линий тока установившегося течения относительно вихревого кольца при различных (малых) значениях отношения Внутренняя зачерненная область соответствует ядру вихря, а штриховкой показана жидкость, переносимая вместе с кольцом.

увеличения отношения наблюдается быстрое возрастание массы жидкости, переносимой вместе с вихревым кольцом, а при значениях превышающих величину порядка 0,01, объем этой жидкости доходит до оси симметрии.

Естественно спросить, существуют ли установившиеся вихревые кольца, имеющие немалые поперечные сечения. При этом возможно любое распределение завихренности и с точки зрения теории невязкой жидкости нужно лишь потребовать, чтобы величина со/а была постоянной для любой линии тока установившегося течения (см. (7.1.7)). Единственным аналитическим указанием служит существование замечательно простого поля течения, известного как сферический вихрь Хилла (Хилл(1894)). Завихренность течения сосредоточена внутри сферы радиуса а и распределена согласно соотношению

где А имеет одно и то же значение длявсехлиний тока внутри сферы. Соответствующая функция тока для течения внутри сферы (относительно системы координат, связанной со сферой, так что

Рис. 7.2.5. Линии тока установившегося течения относительно сферического вихря Хиттла, проведенные через равные интервалы изменения функции тока

при легко находится и имеет вид

касательная компонента скорости на поверхности сферы (при приближении к ней изнутри) равна

и направлена от критической точки при Теперь заметим, что скорость на неподвижной сфере, обтекаемой безвихревым потоком жидкости с постоянной скоростью на бесконечности в направлении отрицательной оси х, равна (см. § 6.8); таким образом, внутреннее и внешнее распределения скорости сращиваются при выполнении условия

На рис. 7.2.5 показаны линии тока этого течения, установившегося относительно вихря. Из рассмотрения по отдельности областей внутри и вне сферы радиуса а видно, что импульс жидкости (для движения относительно системы координат, связанной с жидкостью на бесконечности) равен эту же величину можно получить и непосредственно из (7.2.10).

Возможно, что сферический вихрь Хилла представляет собой один крайний случай семейства вихревых колец, другой крайний случай которого — круговая вихревая нить.