Безвихревое соленоидальное течение, вызываемое поступательным движением твердого тела

Выражение скорости принимает специальную форму, когда условие, которое должно удовлетворяться на внутренней границе, имеет вид

во всех точках данной замкнутой поверхности; здесь заданная векторная постоянная; скорость действительная скорость в безвихревом соленоидальном течении, создаваемом поступательным движением твердого тела со скоростью через жидкость, которая покоится на бесконечности. В данном случае

определение скорости сводится к нахождению решения уравнения которое удовлетворяет условиям

и

Из теоремы единственности следует, что существует только одно решение уравнения для которое может удовлетворять этим условиям. К функции можно прибавить произвольную постоянную, не изменяющую скорости уравнения для или условия на внутренней границе; следовательно, постоянную, к которой функция стремится на бесконечности, можно в данном случае выбрать произвольно, и для удобства будем считать ее равной нулю. Дифференциальное уравнение и условия, которые должны удовлетворяться на границах, линейны и однородны относительно поскольку решение должно быть справедливо при любом заданном оно должно иметь вид

где неизвестная векторная функция, не зависящая ни от величины, ни от направления скорости Поскольку функция определяется внутренним граничным условием, она зависит только от координат точки в жидкости относительно тела, т. е. только от разности где определяет мгновенное положение некоторой точки тела. Кроме того, выражение для в виде (2.9.23) справедливо (по тем же самым причинам) и в том случае, когда твердое тело движется через жидкость, которая не простирается в бесконечность, а ограничена извне неподвижной твердой границей, хотя в этом случае зависит не только от координат точки относительно твердого тела.

Равенство (2.9.23) полезно в ряде случаев и из него можно даже непосредственно определить функцию Например, из него видно, что в случае твердой сферы с центром, находящимся в данный момент времени в начале координат, никакой вектор или направление не являются предпочтительными при описании формы границы и вектор х оказывается единственным, от которого может зависеть функция Отсюда следует, что единственным частным решение из системы независимых решений (2.9.21), которое в комбинации с может иметь вид (2.9.23), является второе

и функция

где постоянная, представляет собой искомое решение. В сферических координатах при в направлении соответствующая скорость жидкости имеет компоненты

Внутреннее граничное условие удовлетворяется для сферы радиуса а, если

т. е. если

следовательно,

Эти формулы справедливы для скорости в точке в системе координат, неподвижной относительно жидкости на бесконечности и имеющей начало в мгновенном положении центра сферы. При другом начале координат, когда центр сферы находится в точке распределение скорости, очевидно, останется тем же, если только координата х отсчитывается от т. е. если

Заметим также для дальнейшего использования, что в системе координат, движущейся вместе со сферой и с началом в ее центре, потенциал скорости течения