Условия, при которых поле скоростей можно приближенно считать соленоидальным

В § 2.2 было отмечено, что на практике скорость, с которой изменяется плотность элемента жидкости, часто пренебрежимо мала и что в этих условиях из уравнения сохранения массы (3.6.1) можно сделать вывод о соленоидалышм распределении скорости. Этот вывод представляет собой важное и ценное упрощение, условия справедливости которого должны быть тщательно изучены.

Предположим, что распределение скорости и и других параметров течения характеризуется масштабом длины (означающим, что, вообще говоря, скорость и не сильно изменяется на любом расстоянии, малом по сравнению с масштабом и что изменения модуля скорости в зависимости как от координат, так и от времени имеют порядок величины Тогда порядок величины производных по координатам от компонент скорости и равен и можно сказать, что распределение скорости будет приближенно соленоидальным, если

т. е. если

Для однородной жидкости плотность и энтропию единицы массы можно выбрать в качестве двух независимых параметров состояния; тогда относительная скорость изменения давления,

испытываемого элементом жидкости, может быть выражена в виде

Таким образом, условие того, что вектор скорости и будет приближенно соленоидальным, выражается неравенством

Условие (3.6.13), как правило, будет удовлетворяться только тогда, когда каждый из двух членов в левой части неравенства имеет малую величину по сравнению с отношением сейчас мы изучим эти вспомогательные условия.

1. Если условие

выполняется, то изменения плотности элемента жидкости, вызванные изменениями давления, пренебрежимо малы, т. е. жидкость ведет себя так, как если бы она была несжимаемой. Из двух условий соленоидальности вектора и это условие практически наиболее важно. При оценке модуля производной общность рассуждений почти не нарушается предположением об изэнтропичности течения, так как эффекты вязкости и теплопроводности обычно значительно сильнее влияют на распределение давления в пространстве, чем на его изменения во времени. Поэтому мы можем переписать условие (3.6.11) с помощью уравнения (3.6.9) в виде неравенства

показывающего, что в общем случае (т. е. без сокращения членов в левой части неравенства (3.6.15) во всех точках поля течения) жидкость можно считать эффективно несжимаемой, если выполняются три отдельных условия, а именно если каждый член в левой части неравенства мал по сравнению с отношением

1а. Рассмотрим сначала второй член в левой части неравенства (3.6.15). Порядок величины производной будет таким же, как и порядок любой из величин или (т. е. Могут существовать течения с колебаниями, частота которых в некоторой фиксированной точке значительно больше отношения однако такие течения сейчас можно не рассматривать, так как ниже мы увидим, что требование малости первого члена неравенства (3.6.15) по сравнению с отношением будет для них более строгим. Таким образом, условие малости второго члена в (3.6.15) принимает вид

Параметр с является функцией координат, и если его изменение существенно, то для использования в неравенстве (3.6.16) нужно выбрать некоторую характерную величину с.

В течении установившемся или в таком, что в нем изменения скорости со временем не играют доминирующей роли, изменение скорости жидкого элемента от нуля до влечет за собой изменение давления порядка (это видно также из теоремы Бернулли), и, следовательно, отношения или изменения для элемента жидкости) малы по сравнению с единицей, если проведенным неформальным рассуждением подкрепляется неравенство (3.6.16). Отношение называется числом Маха поля течения с характерными параметрами и оно играет важную роль в газовой динамике. Для воздуха при и давлении в одну атмосферу а для воды при Следует ожидать, что в течениях, возникающих при установившемся движении тел в атмосфере со скоростями ниже влияние сжимаемости воздуха будет слабым, если оно вообще будет проявляться, и весьма маловероятно, чтобы сжимаемость среды оказывала какое-либо влияние на обычные установившиеся течения воды.

16. Величина первого члена в неравенстве (3.6.15) непосредственно зависит от нестационарности течения. Предположим, что в поле течения происходят колебания, пусть и не строго периодические, и что есть мера основной частоты. Величину флуктуаций давления можно оценить на основании замечания, что жидкость в области с линейными размерами имеет приблизительно однородную скорость, которая изменяет знак за время порядка и что приращения давления по всей границе области, вызывающие соответствующее изменение количества движения, должны иметь величину Поэтому порядок величины производной равен и условие малости первого члена неравенства (3.6.15) по сравнению с получает вид

Если характерная частота временных изменений равна отношению то это условие сводится к неравенству (3.6.16) и оказывается более жестким, чем условие (3.6.16), если что уже указывалось. Отметим, кроме того, что отношение равно единице, если величину считать равной длине звуковой волны частоты это соответствует очевидному факту, что сжимаемость нельзя не учитывать в процессе прохождения звуковой волны.

1в. Если мы учитываем массовую силу тяжести, то третий член в левой части неравенства (3.6.15), а именно (который соответствует изменению давления, необходимому для

уравновешивания массовой силы), имеет величину порядка поэтому условие ее малости по сравнению с отношением сводится к неравенству

В случае воздуха, который практически является единственной рабочей жидкостью, для которой существует какая-либо возможность нарушения этого условия, можно воспользоваться изэнтропическим уравнением состояния (1.7.25) и найти, что

Это равенство показывает, что условие (3.6.18) удовлетворяется, если только разность между статическими давлениями в двух точках на расстоянии друг от друга в вертикальном направлении составляет малую долю от абсолютного давления, т. е. если масштаб характерного распределения скорости мал по сравнению с отношением масштабом высоты атмосферы (см. § 1.4), который составляет приблизительно для воздуха при нормальных условиях. Очевидно, что это условие удовлетворяется для всех движений, встречающихся в лабораториях или в слоях атмосферы, не превышающих по высоте нескольких сот метров.

Таким образом, жидкость ведет себя как несжимаемая, если все три условия (3.6.16), (3.6.17) и (3.6.18) удовлетворяются. Область газодинамики большей частью имеет дело с условиями, в которых неравенство (3.6.16) не выполняется; неравенство (3.6.17) не выполняется в явлениях, изучаемых акустикой; условия, при которых нарушается неравенство (3.6.18), встречаются в динамической метеорологии. В нашей книге ни одна из этих областей не будет изучаться, хотя все они очень интересны и важны. Поэтому последующие главы посвящены рассмотрению таких течений, в которых удовлетворяются все три условия и в которых жидкость можно считать несжимаемой.

II. Обратимся снова к неравенству (3.6.13) и рассмотрим второе дополнительное условие соленоидальности вектора скорости и, а именно условие малости второго члена в его левой части по сравнению с Поскольку существует единственное функциональное соотношение между тремя параметрами когда жидкость однородна, а мы предполагаем, что это так, то, учитывая (1.5.16) и (1.5.17), можно написать

Подстановка производной из уравнения (3.6.3) дает условие

основной смысл которого состоит в том, что изменения плотности элемента жидкости, вызываемые внутренним нагревом (из-за диссипации) или молекулярной теплопроводностью внутри элемента, должны быть малыми

Предположим вновь, что дифференцирование некоторой величины по координатам сводится к умножению ее характерного значения на и что два члена левой части неравенства (3.6.20) взаимно не уничтожаются во всех точках поля течения. Тогда из выражения (3.4.5) для следует, что неравенство (3.6.20) эквивалентно двум вспомогательным условиям

где коэффициент термодиффузии, мера разности температур в жидкости, а коэффициент термического расширения положителен. Некоторые указания на обстоятельства, при которых условия (3.6.21) не удовлетворяются, можно найти в следующей таблице (для воздуха и воды при и давлении в одну атмосферу в случае см; см/сек;

Очевидно, маловероятно, чтобы нагрев из-за диссипации был достаточным для нарушения первого из условий (3.6.21); и только в довольно редких обстоятельствах (например, при порядка и порядка в газе) нагрев посредством теплопроводности будет достаточно сильным, чтобы нарушить второе условие.

Поэтому для практических целей вторым членом в левой части неравенства (3.6.13) можно пренебречь. При отсутствии каких-либо явных ограничений вывод о том, что жидкость эффективно несжимаема, можно рассматривать как утверждение, что распределение ее скорости соленоидально; условия, при которых жидкость ведет себя как несжимаемая, выражаются неравенствами (3.6.16), (3.6.17) и (3.6.18), из которых первое представляется наиболее важным.