Чисто сходящееся течение

Здесь мы имеем течение со сходящимися линиями тока во всем канале, причем . В канале достигается единственное максимальное значение и распределение скорости симметрично относительно прямой Согласно граничному условию (5.6.6), должно быть

Если теперь считать величину достаточно большой при фиксированном значении а, то мы видим, что (5.6.11) выполняется в том случае, когда один из нулей выражения в фигурных скобках стремится к т. е. интеграл будет при этом расходящимся. Следовательно, при необходимо иметь

Это асимптотическое значение с мы можем принять в качестве приближения при больших для выражения в фигурных скобках в (5.6.11), и при этом интеграл в (5.6.11) уже не будет расходящимся. Таким образом, если то из (5.6.8) получаем соотношение

и приближенное выражение для скорости в интервале

Отсюда заключаем, что при больших числах Рейнольдса существует чисто сходящееся течение, для которого радиальная скорость приближенно не зависит от угла 6 и равна значению скорости во всей области течения в канале, за исключением прилегающих к стенкам слоев, определяемых условием

Рис. 5.6.2. Течение в сужающемся канале при больших числах Рейнольдса.

Вне этих слоев течение безвихревое и возникающая на стенках завихренность накапливается в них. Поскольку скорость всюду направлена вдоль радиуса, то компонента, нормальная к ближайшей стенке, будет направлена в ее сторону, так что в данном случае эффект конвекции противоположен диффузии завихренности от стенки и его действие достаточно сильно, чтобы вызвать уменьшение толщины слоя с увеличением расстояния в направлении течения.

Распределение скорости поперек канала показано на рис. 5.6.2. Параметры связаны между собой:

Следует заметить, что профиль скорости (5.6.12) можно продолжить в область значений 6, больших а, соответствующую расходящемуся течению со скоростью, принимающей еще одно нулевое значение при

как это показано штриховой линией на рис. 5.6.2. Это второе нулевое значение скорости и соответствует другому возможному положению границы канала при ином значении угла а. По-видимому, приближенно однородное втекающее течение в широкой центральной части канала может быть ограничено узкой областью потока, вытекающего вдоль любой стенки. Дальнейшее продолжение профиля скорости приведет к новому сходящемуся течению с распределением скорости, в точности соответствующим области

Рис. 5.6.3. Зависимость между а и максимальным значением числа Рейнольдса для которого возможно чисто расходящееся течение. В области выше кривой чисто расходящийся поток невозможен; в области ниже кривой возможен.

Чисто расходящееся течение

Рассмотрим теперь течение с расходящимися линиями тока при Как и в предыдущем случае, имеется единственное максимальное значение и распределение скорости симметрично относительно осевой линии Соотношение (5.6.11) должно выполняться и здесь, но получаемые из него следствия совершенно иные. В фигурных скобках в (5.6.11) все члены теперь положительные и ясно, что при произвольном выборе невозможно выполнение этого соотношения. В нашем распоряжении имеется константа с, на которую наложено условие с 0; максимальное значение числа Рейнольдса, скажем при котором может быть выполнено соотношение (5.6.11) для заданного значения а, очевидно, достигается при и определяется условием

Этот интеграл сводится к полному эллиптическому интегралу первого рода, и численные значения для заданных могут быть найдены по таблицам. На рис. 5.6.3 показана полученная на основе (5.6.14) зависимость между которая дает ограничение на интенсивность чисто расходящегося течения в канале при заданном угле а.

Для из (5.6.14) следует

Рис. 5.6.4. Симметричные профили радиальной скорости в расширяющемся канале для различных значений Положительные значения соответствуют расходящемуся течению вблизи оси канала.

профиль скорости симметричен относительно плоскости Все показанные на рис. 5.6.4 решения можно продолжить в область продолжить можно также и те из них, которые имеют второй нуль производной функции в этом случае функцию можно интерпретировать как решение для комбинированного втекающего и вытекающего течения в канале, ширина которого выбрана в соответствии с положением второго нуля функции Один пример такого комбинированного течения, имеющего широкий сходящийся участок с почти постоянной скоростью, который примыкает к узкому расходящемуся участку, был получен просто продолжением профиля (5.6.12) в область значений , лежащих за «стенкой» (рис. 5.6.2). Другой пример показан штриховой линией на рис. 5.6.4; это течение получено путем продолжения решения при в область значений и путем уменьшения масштаба по оси абсцисс так, чтобы иметь второй нуль функции в точке для определения указанной на рис. 5.6.4 величины было использовано соответствующее измененное значение угла а. (Этот способ позволяет выяснить, каким образом можно построить последовательность решений для превышающих критическое значение 10.31.)

В области значений за вторым нулем функции решения повторяются и соответствуют чередующимся областям вытекающих и втекающих течений; профили всех вытекающих течений идентичны; то же справедливо и для втекающих течений. Каждое из этих вытекающих или втекающих течений в точности совпадает с чисто

вытекающим или чисто втекающим течениями для подходящего значения рассмотренными выше.

Ясно, что возможность найти комбинированное течение с нулевыми значениями в точках возрастает по мере увеличения параметра поэтому для заданного (большого) значения параметра существует несколько симметричных решений. Например, при было установлено, что существуют три возможных симметричных распределения скоростей с вытекающим течением в центральной части канала: 1) одно вытекающее течение и два втекающих, 2) три вытекающих и два втекающих, 3) три вытекающих и четыре втекающих. Число возможных распределений скорости увеличивается с увеличением правда, по непростому закону. Аналогичные замечания справедливы и для несимметричных распределений скорости с нечетным числом нулей функции

Интересно выяснить следующий практически важный вопрос: что произойдет, если жидкость течет в канале таким образом, что угол между (криволинейными) стенками увеличивается постепенно от некоторого малого начального значения на входе, удовлетворяющего условию Во входном участке канала развивается параболический профиль скорости, и можно ожидать, что по мере увеличения эффективного значения а следовательно и с расстоянием вниз по потоку профиль скорости будет последовательно принимать конфигурации, подобные приведенным на рис. 5.6.4 для интервала Когда локальное значение параметра достигает и превосходит величину 10,31, чисто расходящееся течение становится невозможным и можно ожидать появления области возвратного (втекающего) течения вблизи одной или обеих стенок.

Как показывают имеющиеся эксперименты, подобная этой картина действительно наблюдается, хотя расходящееся течение в канале приобретает неустойчивый характер и выявить установившееся течение с возвратными участками вблизи стенок становится трудно.

Имея в виду основную цель данной главы, важно подчеркнуть следующие свойства полученных выше семейств автомодельных решений. Вполне ясно, что существует значительное различие между чисто сходящимся и чисто расходящимся течениями в канале, или, что равносильно, между почти параллельным течением вблизи твердой стенки с непрерывным ускорением всех жидких элементов и соответственно с их замедлением. В течении с непрерывным ускорением завихренность из потока переносится к стенке, а завихренность, возникающая у стенки, локализуется в слое, примыкающем к стенке, толщина которого стремится к нулю при стремлении числа Рейнольдса к бесконечности. В обширной области течения вне этого слоя распределение

скорости имеет форму, которую можно было бы предсказать из анализа невязкой жидкости.

Однако в случае течения с непрерывным замедлением имеется критическое число Рейнольдса, при превышении которого уже не существует автомодельного решения, для которого скорость жидкости была бы всюду направлена от источника; действительно, мы нашли автомодельные решения, в которых имеются области возвратного течения. В этом состоит типичное и практически важное свойство всех течений с расходящимися линиями тока; характерно также (это подтверждается при численном исследовании трехмерных течений в расходящихся каналах), что условие отсутствия возвратного движения жидкости в расходящемся течении имеет форму неравенства

где число Рейнольдса основано на локальном максимуме скорости и локальной ширине рассматриваемого сечения канала. Если интенсивность источника достаточно велика, то возможные решения будут содержать большое число идентичных областей вытекающих и втекающих течений. Ширина каждой области автомодельного течения настолько мала, что эффекты вязкости имеют большое значение. Таким образом, в этом случае распределение скорости никак нельзя предсказать на основе анализа течения невязкой жидкости.