7. ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЕ ЭФФЕКТИВНО НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

7.1. Введение

В этой главе мы продолжим исследование течения однородной несжимаемой жидкости при условиях, когда непосредственным влиянием вязкости можно пренебречь. Что касается завихренности, то мы будем считать ее отличной от нуля по крайней мере в некоторой части жидкости. В силу этого предположения теперь уже невозможно построить столь развитую теорию и проанализировать столь многочисленные характерные поля течений, как это было сделано для полностью безвихревого течения, так как, вообще говоря, мы больше не располагаем линейными уравнениями движения.

Напомним кинематический результат из § 2.4, согласно которому скорость несжимаемой жидкости, индуцированная распределением завихренности равна

где безвихревой (соленоидальный) вектор, а интеграл берется по всему объему жидкости (или по несколько большему объему, если на границе жидкости, см. § 2.4). Если распределение завихренности известно, то безвихревая часть будет определена в общем случае граничными условиями, наложенными на скорость и; иначе говоря, мы можем считать, что граничные условия для и удовлетворяются путем введения некоторого воображаемого распределения завихренности на границе при скорости равной нулю.

Вступительные замечания § 6.1 относительно роли теории течения невязкой жидкости остаются в силе и для этой главы. Основные уравнения, полученные в § 6.1, применимы также и здесь; это уравнение сохранения массы,

и уравнение движения, содержащее в качестве массовой силы, действующей на жидкость, только силу тяжести,

В этом уравнении постоянные величины. Нам придется, кроме того, использовать соотношение (6.2.3), которое

представляет собой просто другую запись уравнения движения. Стоящая в квадратных скобках в (6.2.3) величина была обозначена через при выводе теоремы Бернулли для установившегося течения (см. (3.5.16)); это обозначение удобно и при более общих условиях; итак, положим

где

а . В этой главе мы не будем касаться течений жидкости со свободной поверхностью и поэтому, как обычно, освободимся в (7.1.2) и (7.1.4) от члена, содержащего силу тяжести, включив его в давление; таким образом, ниже будем считать модифицированным давлением.

В этой главе особенно удобно использовать уравнение для завихренности, которое получается путем взятия ротора от обеих частей уравнений (7.1.2) или (7.1.3):

Как было показано в § 5.3 в качестве следствия этого уравнения, вихревые трубки движутся вместе с жидкостью и имеют постоянную напряженность.

В случае двумерного течения отличной от нуля является только компонента завихренности, нормальная к плоскости течения (обозначим эту компоненту В этом случае градиент скорости и в направлении вектора завихренности равняется нулю, так что уравнение (7.1.5) принимает вид

Поскольку в двумерном движении не происходит вращения или растяжения вихревых линий, то завихренность каждого элемента жидкости остается постоянной.

Другим случаем, в котором уравнение (7.1.5) принимает простую форму, является осесимметричное течение без «закрутки» (т. е. без азимутального движения), когда вектор завихренности в любой точке течения нормален плоскости, содержащей эту точку и ось симметрии течения. В цилиндрических координатах с компонентами скорости и единичными векторами вдоль соответствующих координатных линий мы имеем

так что (7.1.5) принимает вид

Это уравнение выражает постоянство напряженности жидкой вихревой трубки малого поперечного сечения и длины

Уравнения, подобные (7.1.6) и (7.1.7), особенно полезны при изучении установившегося течения, когда из равенства нулю субстанциональной производной какой-либо величины следует ее постоянство вдоль линии тока. Итак, для установившегося течения (7.1.3) приводится к виду

точно такому же, как и для общего установившегося гомоэнтропического течения (см. (3.5.9)). Таким образом, для установившегося течения

отсюда следует, что на поверхности, на которой лежат пересекающиеся семейства линий тока и вихревых линий, величина постоянна. Поверхность постоянного значения величины обычно называется поверхностью Бернулли (несмотря на то, что в § 3.5 теоремой Бернулли назван результат о постоянстве вдоль линии тока в установившемся течении).