Спутная вихревая система далеко за крылом

Проведенный выше анализ основан на предположении, что вблизи крыла, точнее на расстоянии порядка размаха, спутные вихри имеют прямолинейную форму и параллельны направлению полета крыла, т. е. образуют плоскую вихревую пелену. В действительности индуцированная самими спутными вихрями скорость вызывает некоторое поперечное перемещение вихревых линий. Отношение вертикальной компоненты индуцированной скорости к скорости набегающего потока, как видно из формул (7.8.2) и (7.8.4), должно быть порядка или где

коэффициент подъемной силы крыла, определяемый как

Следовательно, если то вихри будут распространяться вниз по потоку от концов крыла, оставаясь приближенно прямолинейными. Однако в момент времени t, соответствующий расстоянию вниз по потоку от крыла, индуцированное поле скорости должно передвинуть вихревые линии в поперечном направлении на расстояние таким образом, первоначальная плоская вихревая пелена будет заметно искажена при значениях порядка т. е. на расстоянии порядка

Когда первоначально плоская вихревая пелена за крылом большого относительного размаха начинает деформироваться под влиянием индуцированного ею поля скорости, это деформирование происходит весьма специфическим путем. Поскольку изменение формы вихревой пелены на расстоянии вниз по потоку, сравнимом с размахом крыла, невелико, то формы ее поперечных сечений на различных расстояниях d вниз по потоку от крыла будут приближенно теми же самыми, что и в случае двумерного поля течения в различные интервалы времени в поперечном сечении первоначально прямолинейной вихревой пелены, причем (Влиянием присоединенной завихренности крыла мы пренебрегаем, так как она может оказывать воздействие на свободные вихри только вблизи крыла.) Эту двумерную задачу можно решить численно, если напряженность вихревой пелены задана как функция координаты вдоль размаха крыла.

На рис. 7.8.5 показаны результаты таких вычислений для вихревой пелены за крылом с эллиптическим распределением циркуляции (7.8.8). Напряженность вихря (циркуляция) на единицу длины вихревой пелены равна

и отсюда видно, что она концентрируется вблизи двух ее концов. Для целей численного расчета непрерывное распределение напряженности было заменено точечными вихрями одинаковой напряженности, которые были подходящим образом размещены на прямой, представляющей вихревую пелену. Поскольку пелена плоская, у-компонента индуцированной скорости направлена вниз и постоянна по сечению пелены, как это уже было отмечено для случая эллиптически нагруженного крыла. Однако, как

Рис. 7.8.5. (см. скан) Расчетные положения группы из десяти одинаковых точечных вихрей, расположенных при вдоль прямой линии таким образом, чтобы приближенно представить половину вихревой пелены эллиптически нагруженного крыла (см. (7.8.12)) Штриховые линии получены аналитическим путем для течения вблизи края вихревой пелены (помеченного точкой), где численное интегрирование становится невозможным (Вестуотер (1936)).

видно из (7.8.2) и (7.8.12), в концевых точках есть особенности, и поэтому в них вертикальная компонента индуцированной скорости изменяется скачкообразно до бесконечно большого положительного значения (которое при численных расчетах может быть воспроизведено, конечно, лишь приближенно). Оба конца вихревой пелены вследствие этого перемещаются вверх, и это новое распределение завихренности приводит к дальнейшей деформации пелены, которая свертывается около этих концов. Конец вихревой пелены продолжает оставаться особенностью и всегда перемещается под прямым углом к направлению местной

касательной к пелене, образуя спираль с бесконечным числом витков. (Фотографии (см. фото 5.10.5) обнаруживают аналогичное спиральное движение края вихревой пелены за острым выступом тела вскоре после начала его движения.)

Как видно из фотографий более поздних стадий развития вихревой пелены (см. фото 7.8.5), завихренность позади тела формируется в виде двух растущих спиралей; завихренность в каждой из двух спиралей приближенно симметрична относительно некоторой точки, расположенной на расстоянии около от плоскости симметрии (Первый интегральный момент завихренности с каждой стороны этой плоскости должен оставаться постоянным (см. § 7.3) и первоначально имеет значение, соответствующее центру завихренности на расстоянии от плоскости Далеко вниз по потоку от крыла, таким образом, существует пара вихрей («парный вихрь») со структурой, промежуточной между показанными на рис. 7.3.3 и рис. 7.3.4; на первом из них завихренность сконцентрирована в двух точках, на втором завихренность разных знаков непрерывно распределена по полуокружностям. Направленный вниз импульс, требуемый для порождения этой пары вихрей, создается крылом, а кинетическая энергия движения в поперечной плоскости, обусловленного парой вихрей, связана с индуктивным сопротивлением крыла, о чем уже говорилось выше. Два спутных вихря, образующихся далеко вниз по потоку вследствие свертывания вихревой пелены, в литературе иногда считаются концентрированными (вихревыми нитями), хотя для крыльев с относительно большим размахом степень концентрации (дисперсия) завихренности одного знака вдали от крыла не может сильно отличаться от соответствующего ее значения в начальной плоской вихревой пелене ввиду требования сохранения кинетической энергии.

Наблюдения поля течения вниз по потоку от крыльев различной формы показывают, что хотя скорость свертывания сходящей вихревой пелены может зависеть от формы крыла и его положения, все же достаточно далеко от крыла типичной и преобладающей картиной остается пара спутных вихрей.