4. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

4.1. Введение

В этой и следующей главах будет изучено влияние напряжений, вызываемых вязкостью жидкости. Чтобы наглядно показать это влияние и развить физическое представление о нем, предположим, что исследуемая жидкость несжимаема; как уже отмечалось, такое предположение оказывается хорошим приближением к действительности в широком диапазоне условий, причем основное ограничение сводится к тому, что скорость жидкости должна быть всюду мала по сравнению со скоростью звука. Будем также считать, что нет каких-либо других эффектов, которые могли бы вызвать значительное изменение плотности элементов жидкости (см. § 3.6). При этом уравнение баланса энергии жидкости и термодинамическое уравнение состояния заменяются условием постоянства плотности элемента жидкости

Уравнение сохранения массы с учетом (4.1.1) сводится к уравнению

а выражение для напряжений в несжимаемой жидкости

дает возможность написать уравнение движения в виде

Эти уравнения определяют течение ньютоновой жидкости при одном лишь предположении, что жидкость несжимаема. Наиболее общий вид граничного условия, налагаемого на решение, состоит в том, что все компоненты скорости должны быть непрерывными функциями вплоть до границы твердого тела и жидкости.

Отметим, исходя из общего выражения (3.4.5), что скорость диссипации механической энергии на единицу массы жидкости под влиянием вязкости есть

Эта энергия теряется жидкостью и выделяется в виде тепла.

Вязкость жидкости изменяется в основном с изменением температуры, так что когда происходят заметные изменения температуры либо в результате теплопроводности от границы, либо под влиянием тепла, выделяемого за счет вязкой диссипации механической энергии, коэффициент нужно рассматривать как функцию координат, полученную на основании распределения температуры. Однако здесь мы будем считать, что коэффициент вязкости всюду постоянен.

Массовая сила выражает действие гравитационного поля Земли, и в подавляющем большинстве случаев мы примем

полагая в этой главе, что сила тяжести постоянна во всей жидкости.

При этих условиях уравнение движения вязкой жидкости (в векторных обозначениях, в которых оно становится более ясным) имеет вид

где заданные постоянные.

Еще одно упрощение, которое должно быть принято, состоит в том, что плотность жидкости постоянна. В тех случаях, в которых выталкивающие силы, возникающие под действием силы тяжести на жидкость с малыми изменениями плотности, полностью обусловливают движение жидкости, приближение однородной плотности, очевидно, неприемлемо; однако подобные случаи свободной конвекции в книге не рассматриваются.

Добавок к ускорению элемента жидкости, обусловленный вязкими напряжениями, возникающими при данной скорости деформации, очевидно, определяется отношением а не только одним коэффициентом вязкости Как отмечалось в § 1.6, отношение называется кинематическим коэффициентом вязкости и обозначается буквой Ввиду того, что уравнение движения имеет вид

коэффициент является по существу коэффициентом диффузии для скорости и, имеющим размерность (длина) X (скорость), как и все коэффициенты диффузии, и играет такую же роль по отношению к динамическому коэффициенту вязкости какую коэффициент термодиффузии играет по отношению к коэффициенту теплопроводности k. Значения для воздуха и воды при различных условиях приведены в таблицах приложения 1, а их значения для некоторых обычных жидкостей при температуре и давлении в одну атмосферу представлены ниже. Заслуживает внимания то, что если значения для воздуха, воды и ртути расположить в порядке возрастания, то значения

при этом располагаются в порядке убывания; когда важен только кинематический коэффициент вязкости, ртуть по существу оказывается значительно менее вязкой жидкостью, чем воздух.

Численные значения как так и для двух обычных жидкостей — воздуха и воды — весьма малы. Пока мы еще не знаем, с чем нужно сравнивать эти значения, имея в виду важность эффектов вязкости, хотя есть много указаний на то, что во многих случаях эти эффекты пренебрежимо малы. Трудно определить даже в общих чертах условия, при которых можно с уверенностью пренебречь эффектами вязкости, и трудно предсказать эти эффекты в случаях, в которых они не являются пренебрежимо малыми. Поэтому мы должны начать с общего изучения эффектов вязкости, прежде чем использовать преимущества, которые дает малость численных значений коэффициентов для воздуха и воды.