6.9. Приближенные результаты для тонких тел

В случае тел, длина которых велика по сравнению их шириной и которые движутся через жидкость, покоящуюся на бесконечности, существует простой приближенный метод определения

Рис. 6.9.1. Осеснмметричное безвихревое обтекание тонкого тела, представляемое распределением источников на его оси. 1 — поверхность тела.

соответствующего безвихревого поля течения. Этот метод, известный как теория тонкого тела, распространен при решении многих других задач и широко используется в аэронавтике и в других областях, касающихся движения профилированных тел в жидкости. Основа этого метода в излагаемой здесь простой форме состоит в том, что для тонкого тела можно подобрать такое распределение особенностей течения (источников и стоков) вдоль некоторой линии, что безвихревое течение, связанное с этими особенностями, в сочетании с равномерным потоком удовлетворяет приближенно условию нулевой нормальной компоненты скорости на поверхности тела заданной формы. В случае тонких тел вращения этот метод является естественным продолжением содержания § 6.8 о телах вращения, образованных путем размещения источников вдоль оси симметрии, поэтому мы рассмотрим сначала этот случай.

Тонкие тела вращения

Выберем, как и в § 6.8, ось х, совпадающую с осью симметрии тела, и предположим сначала, что неподвижное тело обтекается однородным потоком со скоростью на бесконечности в отрицательном направлении оси х (это соответствует движению тела в положительном направлении оси х в жидкости, покоящейся на бесконечности). Пусть площадь поперечного сечения тела в сечении с координатой х равна А (рис. 6.9.1). Будем считать, что касательная к меридианной кривой поверхности тела наклонена под малым углом к его оси и что, следовательно, площадь поперечного сечения А — медленно изменяющаяся функция от х; это предположение более сильное, чем простое требование малости отношения максимальной толщины тела к его общей длине, но оно обычно рассматривается как ограничение, вытекающее из самого определения «тонкого тела».

Линии тока как течения вне тела, так и фиктивного течения внутри тела, связанного с заменой его особенностями, будут почти

параллельны оси, как и поверхностная линия тока. Далее, уравнение сохранения массы в цилиндрических координатах имеет вид

где приращения компонент постоянной скорости вызванные наличием в потоке тела; следовательно, если производные представляют собой величины одного порядка (как это можно ожидать в поле, описываемом уравнением Лапласа), то изменения их на всем протяжении поля течения имеют такой же порядок, как изменения Компонента скорости вблизи поверхности тела имеет порядок следовательно, обе компоненты возмущенного течения малые порядка и осевая компонента скорости в первом приближении может быть всюду принята равной

Из сказанного следует, что объемный поток жидкости в сечении тела с координатой х приближенно равен а в соседнем сечении с координатой он равен Жидкость не пересекает разделяющую линию тока, представляющую поверхность тела (рис. 6.9.1), поэтому разность потоков

должна быть компенсирована источниками на оси тела с интенсивностью — на единицу длины. Таким образом, когда форма тонкого тела задана, можно определить плотность распределения источников (вместе с равномерным потоком порождающих течение с разделяющей линией тока, приближенно совпадающей с поверхностью тела), исходя из которой можно определить поле течения в целом. Данное приближение почти параллельного течения неточно вблизи скругленных передней и кормовой частей тела конечной длины, однако эта неточность имеет лишь локальный характер, так как суммарная интенсивность источников на оси между сечением х и передней частью тела, согласно сформулированному правилу, равна и это как раз такая интенсивность, которая нужна для получения правильного поперечного смещения набегающего потока в сечении х.

Следует отметить, что теперь из выражения (6.8.37) получается особенно простое выражение интенсивности диполя, создающего асимптотически (на больших расстояниях от начала координат) такое же поле течения, что и тело. Эта интенсивность диполя равна

отсюда видно, что для любого тонкого тела, имеющего объем V и движущегося в направлении его оси симметрии

скоростыо потенциал скорости при больших значениях есть

К сожалению, соответствующее приближение кинетической энергии жидкости, полученное на основании ее выражения (6.4.17), равно нулю, что, конечно, слишком грубо для практического использования!

Очевидно, что точность подобной теории (теории тонкого тела) зависит от пользы, которую она приносит, и от конкретных параметров течения, которые используются теорией для оценки. В качестве частного подхода к вопросу о ее обычной точности можно сравнить величину коэффициента по (6.9.1) с ее точным значением, полученным из полного решения задачи о потенциале скорости случае вытянутого эллипсоида вращения, движущегося параллельно своей оси. Функция тока течения в этом случае определяется выражением (6.8.30), и для нас представляет интерес форма этого поля течения на больших расстояниях от начала координат. Из определения используемых в данном случае эллиптических координат следует, что при

так что

Следовательно, точное выражение для соответствующего асимптотического потенциала скорости имеет вид

где

Когда величина определяемая по формуле (6.9.3), равна как и в случае сферы; приближенное выражение (6.9.1) для в данном случае равное показывает, что даже при отсутствии ограничения тонкого тела ошибка уже не такая большая. Когда относительная толщина мала по сравнению с единицей, коэффициент (6.9.3) равен

в то время как приближенная формула (6.9.1) для вытянутого эллипсоида дает

Таким образом, относительная ошибка для тонкого тела равна

Подобного вида приближения можно применить и с целью учета влияния «бокового ветра» на тонкое осесимметричное тело. Предположим, что скорость движущегося тела в жидкости, покоящейся на бесконечности относительно прямоугольной системы координат, имеет компоненты , из которых первая параллельна оси тела. Результирующее безвихревое течение относительно системы координат, связанной с телом, можно рассматривать как наложение течений, создаваемых двумя равномерными потоками, одного с компонентами скорости , к которому применимы полученные выше результаты, и другого — чисто поперечного потока с компонентами скорости . Так как поперечное сечение тела только медленно изменяется вдоль оси, то течение, вызванное этим потоком вблизи сечения х, приближенно такое же, как и в случае кругового цилиндра с площадью поперечного сечения А в потоке со скоростью V, нормальной к его образующим (и с нулевой циркуляцией), т. е. оно приближенно такое же, как течение, создаваемое двумерным диполем интенсивности в центре круга и с осью, направленной против направления потока со скоростью V (см. замечания после выражения (6.4.6)). Таким образом, наличие тела в поперечном потоке приближенно изображается распределением на оси тела диполей векторной интенсивности на единицу длины. Если форма тела задана, то теперь можно рассчитать все поле течения.

Полная интенсивность диполей, изображающих тело в поперечном потоке, имеет компоненты , где как и выше, — объем тела. Сопоставляя этот результат с равенством (6.9.1), мы видим, что интенсивность диполя, который обладает таким же асимптотическим полем течения, как осесимметричное тонкое тело, движущееся со скоростью ) через жидкость, покоящуюся на бесконечности, равна

Соответствующая приближенная величина кинетической энергии жидкости, полученная из общего выражения (6.4.17), равна она совпадает, как и следовало ожидать, исходя из характера применяемого приближения, с кинетической энергией жидкости между двумя плоскостями поперечных сечений кругового цилиндра произвольного радиуса, движущегося со скоростью V в направлении нормали к его оси, причем расстояние между этими плоскостями такое, что они ограничивают цилиндр объема