5.4. Возникновение завихренности при движениях жидкости из состояния покоя

В § 5.2 было установлено, что изменения потока завихренности через элемент жидкой поверхности возникают исключительно вследствие местной диффузии завихренности под действием вязкости. В случае, когда удельная массовая сила представляется в виде однозначного потенциала, изменения циркуляции по жидкому замкнутому контуру происходят только за счет вязкой диффузии завихренности через контур, независимо от вида контура, ограничивающего незамкнутую поверхность, целиком лежащую в жидкости. Внутри жидкости поток завихренности или циркуляция не могут возникать, а могут только распространяться под действием вязкости.

В связи с этим возникает важный вопрос о первичном источнике завихренности при движениях однородной жидкости из состояния покоя. В начальный момент завихренность всюду равна нулю, и движение должно оставаться безвихревым, если завихренность не диффундирует через поверхность, ограничивающую жидкость. Известно, что движения реальных жидкостей, которые мы можем наблюдать, обладают завихренностью по крайней мере в некоторой части поля течения (так, например, можно отчетливо видеть

вращающиеся участки жидкости на поверхности воды в сосуде, если опущенное в воду лезвие ножа начать двигать из состояния покоя); поэтому мы можем ожидать, что существует некоторый механизм возникновения завихренности на границе жидкости.

Если жидкость целиком или частично ограничена твердыми поверхностями, а для удаленных на бесконечность участков границы считается покоящейся, то механизм возникновения завихренности связан с условием прилипания жидкости на стенках. Существуют и другие типы границ, приводящих к возникновению завихренности, такие, как «свободные» поверхности жидкости, на которых давление постоянно, а касательное напряжение равно нулю (§ 5.14); однако случай твердых границ встречается намного чаще, и здесь мы подробно рассмотрим только его.

Условие непротекания через каждый элемент твердой границы полностью определяет безвихревое движение жидкости, и это единственное безвихревое движение почти неизбежно имеет ненулевую касательную компоненту относительной скорости жидкости на твердой границе (у нас нет причин рассматривать какие-либо случайные обстоятельства, в силу которых это было бы не так). Таким образом, если движение жидкости возникает из состояния покоя при отсутствии диффузии завихренности через границы жидкости, то оно должно сопровождаться ненулевой касательной скоростью на границе жидкости. Поскольку условие прилипания требует обращения в нуль касательной компоненты относительной скорости в каждой точке твердой границы, сколь бы малой ни была вязкость в таком течении, на границе возникает завихренность бесконечной величины. Эта пелена завихренности на твердой границе и является тем источником, из которого завихренность — как только начинает действовать вязкость — распространяется внутрь жидкости.

Формирование течения с образованием завихренности внутри жидкости можно наглядно представить путем рассмотрения следующего частного вида движения; пусть покоящаяся в начальный момент времени жидкость приводится в движение твердым телом, которое при мгновенно приобретает конечную скорость и в дальнейшем движется с этой скоростью в жидкости. Можно считать, что окончательная картина установившегося движения жидкости относительно твердого тела формируется в три этапа.

На первом этапе происходит мгновенное возникновение движения жидкости, которое удовлетворяет условию непротекания через каждый элемент поверхности тела. Твердое тело приобретает скорость внезапно, или импульсивно, и окружающая тело

жидкость также должна начать двигаться внезапно. Движение при обязательно будет безвихревым внутри жидкости, поскольку при завихренность всюду в жидкости была равна нулю. Как уже отмечалось, начальное безвихревое течение полностью определяется известным движением твердой границы, и единственное безвихревое течение, возникающее при практически всегда должно иметь скорость на границе, касательная компонента которой отличается от той же компоненты скорости границы тела. Таким образом, при на границе тела имеется разрыв касательной составляющей скорости, что равносильно наличию вихревой пелены на поверхности тела. Величина интеграла от завихренности по нормали к границе тела в любой ее точке равна скачку касательной компоненты скорости и, следовательно, конечна.

На втором этапе формирования течения под действием вязкости начинается диффузия завихренности от границы тела, где она была сосредоточена в момент Если изменения завихренности в каждой фиксированной точке обусловлены только вязкой диффузией, то каждая компонента завихренности в прямоугольной системе координат будет удовлетворять уравнению теплопроводности; как было показано в гл. 4 на примерах, в которых другие виды изменения завихренности о по тем или иным причинам не возникали, величина расстояния, на которое распространяется завихренность за счет диффузии за время t, будет порядка Фактически завихренность переносится также за счет конвекции (что дает вклад в в фиксированной точке, определяемый первым членом в правой части уравнения (5.2.1)) и изменяется за счет локального деформирования и вращения жидкости (второй член в правой части уравнения (5.2.1)). Второй из указанных дополнительных эффектов не оказывает влияния на распределение по пространству завихренности, чего нельзя сказать о первом. Однако вблизи тела скорость жидкости относительно тела имеет только малую нормальную компоненту, так что при малых значениях времени t, когда расстояние мало, влияние конвекции выражается в переносе завихренности в основном параллельно поверхности тела, а не по нормали к ней. Таким образом, при

малых значениях завихренность жидкости будет отлична от нуля в окружающем тело слое толщины порядка Внутри этого слоя завихренность конечна, так как она обусловлена конечным скачком скорости в слое ненулевой толщины.

Во время третьего этапа расстояние не остается малым (по сравнению с каким-либо характерным линейным размером границы), и за счет конвекции завихренность будет переноситься к границе тела или от нее. При обычно формируется установившееся движение жидкости относительно тела; в этом случае изменения завихренности о в любой точке, фиксированной относительно тела, вызванные действием конвекции, локальным деформированием и вращением жидкости, а также вязкой диффузией, имеют нулевую результирующую. Тот из этих трех эффектов, который связан с локальным деформированием и вращением жидкости, обусловливает лишь локальное изменение завихренности и оказывает второстепенное влияние на общую картину распределения завихренности. Другие два эффекта — конвекция и диффузия — очевидно, определяют, по всей ли жидкости будет распространяться завихренность в установившемся течении. В некоторых случаях конвекция не препятствует распространению завихренности по всей жидкости за счет вязкой диффузии. Относительно других этого нельзя сказать; так, в случае течения, вызванного движением тела в жидкости, ясно, что относительная скорость жидкости перед телом направлена к телу, и поскольку перенос за счет диффузии ослабляется с уменьшением расстояния от источника завихренности, то она будет распространяться только на конечное расстояние перед телом. В тех случаях, когда конвекция сильна (скорость тела всюду велика) или диффузия слаба (вязкость жидкости всюду мала), существуют большие области жидкости (впереди тела и по бокам от него), в которых окончательное установившееся течение является приближенно безвихревым.

Большинство из этих общих положений относительно развития установившегося течения с распределенной завихренностью применимо в аналогичной форме к изучению развития стационарного распределения температуры в жидкости, обтекающей нагретое тело; некоторым читателям эта более знакомая ситуация может показаться нагляднее. Отмеченная аналогия особенно заметна в случае двумерных полей, когда уравнение для одной ненулевой компоненты завихренности со совпадает (см. (5.2.4)) с уравнением для распределения температуры в движущейся среде, имеющей коэффициент термодиффузии С целью сравнения этих двух случаев рассмотрим следующую задачу. Твердая плоская пластина пренебрежимо малой толщины, бесконечной ширины и длины I в начальный момент внезапно приобретает скорость в своей плоскости и одновременно внезапно нагревается до температуры, превышающей температуру окружающей жидкости.

Рис. 5.4.1. Диффузия и конвекция завихренности и теплоты от пластины, помещенной в однородный поток. 1 — граница области завихренности и повышения температуры; стрелки справа — скорость однородного потока.

Начальное безвихревое движение жидкости относительно пластины имеет постоянную скорость (это первый этап развития движения). На втором этапе как завихренность, так и температура диффундируют от поверхности пластины и по истечении малого интервала времени распространяются в жидкости на расстояние порядка В данном случае аналогия неполная, поскольку, во-первых, распределения скорости и завихренности связаны соотношением в то время как температура является независимой величиной, и, во-вторых, граничное условие для завихренности связано с условием прилипания, чего нельзя сказать о граничном условии для температуры. Однако качественная аналогия остается справедливой, если граничное условие для температуры таково, что обеспечивается непрерывный поток тепла от поверхности тела; это может быть, скажем, в том случае, когда температура тела стационарно поддерживается на некотором уровне, превышающем температуру жидкости на бесконечности. На третьем этапе завихренность и избыточная температура переносятся путем конвекции в точки, расположенные вдали от тела вниз по потоку; что касается распространения завихренности и повышения температуры в области впереди тела и по бокам от него, то они будут зависеть от относительной значимости процессов конвекции и диффузии, как показано на рис. 5.4.1.

Скорость жидкости при установившемся течении всюду имеет порядок и направлена почти параллельно пластине; поэтому время, в течение которого элемент жидкости находится у пластины, имеет величину порядка За этот промежуток времени

завихренность и избыточная температура за счет диффузии распространяются в боковых направлениях (перпендикулярно линиям тока) на расстояние порядка Таким образом, если отношение имеет порядок единицы, то завихренность и избыточная температура распространятся в боковом направлении на расстояние порядка длины пластины. Если то завихренность и избыточная температура будут уноситься от пластины прежде, чем они смогут далеко распространиться в боковых направлениях; это приведет к образованию узкого «следа» завихренности и теплоты непосредственно вниз по потоку от тела (величины завихренности и избыточной температуры будут тем больше, чем уже след); если же то влияние конвекции пренебрежимо мало, а завихренность и избыточная температура будут распространяться от тела более или менее одинаково во всех направлениях. Для распределения рассматриваемых величин вверх по потоку от тела из условия баланса конвективных и диффузионных членов получается, что завихренность и избыточная температура в общем случае распространяются на расстояние порядка от кромки тела; приведенные выше качественные рассуждения о выборе различных величин для параметра применимы и здесь, однако количественные оценки будут отличаться.

Теперь мы можем вернуться к многочисленным частным примерам течений из гл. 4, для того чтобы показать, насколько упрощаются рассмотренные в данном параграфе общие положения, если их применить к конкретным задачам. В § 4.3 обсуждались некоторые случаи развития из состояния покоя течения при постоянном направлении скорости, а в § 4.5 рассматривались течения с круговыми линиями тока. Во всех этих случаях не происходит изменения завихренности вдоль линий тока и не происходит поворота или растяжения вихревых линий, так что изменение завихренности здесь обусловлено исключительно действием диффузии. Однако, как ясно из проведенного анализа, твердая граница тела является источником завихренности, которая постепенно диффундирует от границ тела в первоначально безвихревое течение жидкости. В большинстве этих случаев течений окончательное установившееся состояние таково, что всюду в жидкости имеется ненулевая завихренность; стационарный поток завихренности от одних твердых границ уравновешивается стационарным потоком, проходящим через другие границы. Интересным исключением является возникающее из состояния покоя течение во внешней области кругового стационарно вращающегося цилиндра. В этом случае завихренность, диффундирующая от поверхности цилиндра в первой стадии движения, полностью уносится на бесконечность; в результате этого во все возрастающей области, охватывающей цилиндр, течение становится установившимся и безвихревым (см. (4.5.10)). Так уж

посчастливилось, что в этом течении твердая граница перестает быть источником завихренности.

Проведенные в § 4.9, 4.10 и 4.12 исследования установившихся движений сферы и кругового цилиндра в жидкости, покоящейся на бесконечности, дают более поучительные примеры того, каким образом величина числа Рейнольдса может оказывать влияние на общую картину распределения завихренности в установившемся течении. Согласно этим исследованиям, по мере увеличения числа Рейнольдса от некоторого малого по сравнению с единицей значения распределение завихренности становится более несимметричным и стремится локализоваться внутри параболы, ветви которой направлены вниз по потоку, а фокус совпадает с центром тела; эта картина находится в соответствии с общими положениями данного параграфа о развитии такого установившегося течения из состояния покоя.

Наша основная цель, к достижению которой мы постепенно приближаемся, состоит в изучении тех течений, в которых существенны конвекция и диффузия; при этом влияние увеличения числа Рейнольдса до значений, намного превосходящих единицу, приводит к локализации возникшей у стенок тела завихренности в слое относительно малой толщины (по крайней мере на передней стороне и отчасти на боковых поверхностях движущихся тел); величина этой завихренности будет тем больше, чем тоньше становится указанный слой при увеличении числа Рейнольдса.