Твердая сфера

Решение этих новых уравнений в случае движущейся сферы в замкнутой форме неизвестно, однако было найдено его приближенное решение при той же степени приближения, которая используется в самих уравнениях (Ламб (1911)). Это приближенное решение для функции тока, приводимое здесь без вывода, записывается так:

Рис. 4.10.1. Линии тока в осевой плоскости для внешней части течения, вызванного движущейся сферой, согласно уравнениям Озеена. Функция тока равна произведению некоторой постоянной, умноженной на число, указанное на линиях тока.

Решение относится к моменту времени, когда центр сферы совпадает с началом координат; как и раньше, Легко проверить, что оно строго удовлетворяет уравнениям (4.10.2) и дает и при Вблизи сферы, где отношение имеет порядок единицы и

и совпадает с решением Стокса (4.9.12) — и, в частности, удовлетворяет внутреннему граничному условию — с относительной ошибкой порядка числа Рейнольдса. Это как раз та степень приближения, с которой уравнение (4.10.2) представляет точные уравнения движения, поэтому его решение (4.10.3) имеет ту самую точность, которую и нужно было получить.

На рис. 4.10.1 показаны линии тока, соответствующие решению (4.10.3) без первого члена в квадратных скобках, который значителен при только вблизи сферы. Легко видеть качественное различие между решениями Озеена и Стокса во внешней части поля течения. Линии тока больше не симметричны относительно плоскости , как можно было ожидать исходя из того, что уравнение движения уже не удовлетворяется после изменения знаков векторов На больших расстояниях от сферы течение стремится к радиальному, которое подобно течению от источника на сфере, за исключением области «следа» за ней. Аналитически можно показать, исходя из решения (4.10.3), что при течение имеет различные формы в зависимости от того, мала ли сумма по сравнению с единицей.

В точках, в которых величина не мала, функция тока

описывает течение от источника в начале координат с расходом единиц объема в секунду. С другой стороны, в пределах следа, где имеет порядок величины (т. е. там, где величина имеет порядок функция тока

описывает компенсирующее течение в направлении к сфере, причем скорость втекания на оси равна

На больших расстояниях от сферы завихренность в области течения от источника равна нулю и заключена в следе, который можно считать ограниченным параболоидом вращения, на котором имеет порядок В то время как в приближении Стокса завихренность диффундирует во всех направлениях как бы от неподвижной сферы, в рассматриваемом случае движение сферы учитывается, в чем можно убедиться исходя из уравнения

которое получается из (4.10.2). Для каждой компоненты вектора со это уравнение имеет такую же форму, как и уравнение, которому удовлетворяет температура неподвижной теплопроводной среды, через которую с постоянной скоростью движется тепловой источник постоянной интенсивности (в этом случае источник имеет характер диполя). Завихренность, образующаяся на сфере, по мере ее движения остается позади, в следе, который при возрастании числа Рейнольдса сужается.

Теперь мы можем утверждать, что решение Озеена (4.10.3) в противоположность решению Стокса непротиворечиво. Действительно, пренебрегаемый член оцениваемый с помощью решения (4.10.3), мал по сравнению с любым членом, сохраняемым в уравнении движения, если В области вблизи сферы, где отношение имеет порядок единицы, решение (4.10.3) сводится к решению Стокса (с ошибкой порядка числа Рейнольдса), для которого, как уже известно, мало по сравнению с причем отношение этих членов имеет порядок числа Рейнольдса. На больших расстояниях от сферы, в области, где отношение становится величиной порядка единицы и решение (4.10.3) начинает значительно отличаться от решения Стокса, величина и, определяемая по функции тока (4.10.3), имеет порядок или следовательно, отношение отбрасываемого члена к сохраняемому члену является

величиной порядка опять мало. На еще больших расстояниях от сферы, где модуль скорости по сравнению со скоростью становится еще меньше.

Оказывается, что приближенная форма уравнения движения, предложенная Озееном, имеет такое решение, что принятое приближение непротиворечиво во всем поле течения, когда Вблизи сферы это решение имеет такую же форму, как и решение Стокса, и, следовательно, для сопротивления сферы оно дает то же самое выражение с той же относительной ошибкой порядка которая возникает при замене уравнения движения уравнением Озеена. Так как решение (4.10.3), очевидно, есть приближение к решению полных уравнений движения, справедливое при во всем поле течения, то естественно считать решение (4.10.3) исходным в процессе последовательных приближений к решению этих уравнений.

Это соображение было использовано Каплуном и Лагерстромом (1957), а также Праудменом и Пирсоном (1957), и ими был найден коэффициент сопротивления сферы во втором приближении:

(Это выражение для коэффициента сопротивления С к порядка также получается из уравнений Озеена, что на первый взгляд удивительно; дело в том, что член порядка в разности между решением уравнений Озеена для и и вторым приближением к решению полных уравнений дает нулевое слагаемое в величину сопротивления тел с продольной симметрией.) Как видно из рис. 4.9.2, формула (4.10.8) согласуется с измеренным сопротивлением сферы в несколько большем диапазоне чисел Рейнольдса, чем закон Стокса.