Затухание волн на поверхности тяжелой жидкости

Вопрос о волнах на поверхности тяжелой жидкости не входит в круг рассматриваемых в этой книге, однако здесь будет уместно привести некоторые замечания относительно влияния пограничных слоев, образующихся на свободной поверхности. Мы рассмотрим только простой случай, в котором скорость жидких частиц изменяется по синусоидальному закону (помимо слабого ее затухания) с частотой обусловленной прохождением волны, и в котором движение безвихревое в тех областях, где вязкостью можно пренебречь.

Если в канале с твердыми стенками или в жидкости глубиной, меньшей одной длины волны, на поверхности возникает волна (стоячая или прогрессивная) и если частота достаточно велика, то на каждой из твердых стенок формируется колеблющийся пограничный слой, подобный рассмотренному в предыдущем параграфе; если к тому же частота и амплитуда волнового движения удовлетворяют условию (5.13.2), то, используя описанные выше методы, можно получить оценки как для затухания волн под действием диссипации энергии в пограничном слое, так и для скорости установившегося вторичного потока сразу вне пограничного слоя. Однако, если влиянием боковых стенок можно пренебречь, а глубина превосходит одну длину волны, то только пограничный слой будет оказывать (очень слабое) влияние на свободную поверхность. Можно показать, что колеблющийся пограничный слой на свободной поверхности приводит к возникновению установившегося вторичного движения и может оказаться, что это вторичное течение не будет локализовано в пограничном слое; однако в то

время, как для твердой границы скорость указанного течения на внешней границе пограничного слоя стремится к определенному значению, зависящему только от местных условий, в случае свободной поверхности к определенному значению стремится величина нормального градиента скорости установившегося течения (Лонге-Хиггинс (1953, I960)). Наличие пограничного слоя на свободной поверхности служит, кроме того, причиной малого изменения фазы нормального напряжения на границе области безвихревого течения; в результате работа этого нормального напряжения в течение одного периода подъема и опускания свободной поверхности оказывается отличной от нуля и отрицательной. Таким образом, амплитуда волнового движения медленно уменьшается; скорость этого уменьшения можно определить для прогрессивной волны следующим простым способом.

Потеря полной энергии жидкости (кинетической и потенциальной) за один период равна скорости вязкой диссипации энергии за один период при условии, что в объеме рассматриваемой жидкости суммарный поток энергии равен нулю. Эта диссипация происходит главным образом в области безвихревого течения и, таким образом, может быть определена, если известен его потенциал; этот способ позволяет вычислить затухание волн, не обращаясь непосредственно к рассмотрению течения в пограничном слое на свободной поверхности. Предположим, что скорость жидкости изменяется по синусоидальному закону вдоль одной из горизонтальных координат, скажем, х (с волновым числом к), и лежит в плоскости где вертикальная координата, отсчитываемая вниз от среднего положения свободной поверхности. Таким образом, в области безвихревого течения

множитель, зависящий от обеспечивает выполнение уравнения Лапласа для потенциала амплитуда А медленно изменяется по мере уменьшения энергии волны. Для определения скорости диссипации энергии мы можем снова воспользоваться соотношением (5.14.8) и найти, что скорость диссипации энергии движения в целом на единицу площади горизонтальной плоскости равна если амплитуда волны мала по сравнению с длиной волны (интеграл в соотношении (5.14.8) вычисляется в плоскости невозмущенной свободной поверхности

Теперь полная кинетическая энергия жидкости на единицу площади горизонтальной плоскости, осредненная за один период, равняется Жидкость обладает еще и потенциальной энергией, а поскольку все материальные частицы совершают малые колебания под действием силы тяжести и взаимодействий между собой, то средняя полная потенциальная энергия равна средней полной кинетической энергии. Следовательно, получаем уравнение

постепенного уменьшения энергии

показывающее, что амплитуда А убывает как где

Из теории поверхностных волн известно, что частота волн длиной на глубокой воде

так что демпфирование уменьшает амплитуду волн за один период на часть ее величины.

Длину следует рассматривать в свете рассуждений предыдущего параграфа как меру толщины колеблющегося пограничного слоя. Проведенное обсуждение пригодно только в случае, когда эта толщина мала по сравнению с длиной характеризующей поле течения в целом, т. е. когда

выполнение этого условия обеспечивает, таким образом, малое изменение амплитуды волны в течение одного периода.

В качестве числового примера рассмотрим волну длиной 10 см; тогда период будет равен , длина характеризующая толщину пограничного слоя, будет равна см для воды, а амплитуда будет уменьшаться за один период на 0,0022 часть своей величины. На практике не часто случается, чтобы пограничный слой на свободной поверхности был основной причиной затухания поверхностных волн и чтобы была приемлемой полученная выше оценка для в самом деле, для случая волн в лабораторных условиях диссипация энергии в пограничном слое на твердых стенках, как правило, будет основной, а в случае волн на озерах или на море случайные возмущения воды под действием ветра служат обычно более сильной причиной диссипации энергии волнового движения.