Самоиндуцированное движение вихревой нити

В § 2.6 было введено понятие вихревой нити, т. е. вихревой трубки с бесконечно малым поперечным сечением и отличной от нуля напряженностью. Проведенное там кинематическое обсуждение мы теперь можем дополнить следствиями из динамической теоремы, согласно которой вихревая трубка движется вместе с жидкостью, не изменяя своей напряженности, и получить зависимость изменения формы вихревой нити со временем. Приводимый ниже результат о движении вихревой нити имеет ограниченное применение, однако он является довольно неожиданным и имеет важное следствие для приближенного математического представления реальных распределений завихренности.

Используя распределение скорости в жидкости (7.1.1), попытаемся оценить скорость в точках вблизи вихревой нити. Предположим, что вихревая нить (напряженности находится в неограниченной жидкости, покоящейся на бесконечности, причем внутренних границ в жидкости нет; это означает, что всюду в жидкости, так что в (7.1.1) остается только интеграл. Кроме того, предположим, что в точках жидкости, не лежащих на вихревой нити, завихренность равна нулю, и тогда (7.1.1) запишется в следующем

где — элемент замкнутой кривой интегрирования, совпадающей с вихревой нитью. Как было установлено в § 2.6, мы можем переписать (7.1.10) иначе:

где телесный угол, образованный прямыми, идущими из точек замкнутой вихревой нити в точку х. Из этих двух формул видно, что распределение скорости имеет особенности в точках вихревой нити. Ясно, что вокруг любого участка вихревой нити имеется циркуляционное движение со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию до вихревой нити при приближении к ней, однако такое циркуляционное движение жидкости может вызвать лишь поворот бесконечно малого поперечного сечения этого участка вихревой нити относительно его центра и не может сообщить ему поступательного движения. Необходимо более тщательно изучить в точках вблизи вихревой нити для того, чтобы определить, каков будет результат, если вычесть циркуляционное движение.

Рассмотрим индуцированную скорость в окрестности точки О вихревой нити; для этого выберем (естественную) систему ортогональных осей: по направлению касательной, главной нормали и бинормали к вихревой нити в точке О, как показано на рис. 7.1.1. Взяв точку О в качестве начала, в качестве единичных векторов вдоль выбранных осей, радиус-вектор точки в плоскости, нормальной вихревой нити в точке О, можно записать в виде

наша задача теперь состоит в выражении скорости в этой точке при условии Далее, в определенном интервале расстояний I вдоль вихревой нити от точки О, скажем радиус-вектор х точки, лежащей на вихревой нити, записывается как

где с — кривизна вихревой нити в точке О. Таким образом, вблизи точки О имеем

и

Рис. 7.1.1. Схематическое определение индуцированной скорости вблизи вихревой нити.

Вклад в величину скорости в точке или от указанного выше участка вихревой нити, таким образом, равен

где . При знаменатель подинтегрального выражения стремится к и результат (7.1.12) принимает асимптотический вид

Вклад в скорость в точке О от участков вихревой нити, лежащих вне интервала конечно, ограничен, и этой информации о нем для нас будет достаточно.

Первый из двух переменных членов в (7.1.13) выражает отмеченное выше циркуляционное движение вокруг вихревой нити и не вызывает ее смещения. Второй член в (7.1.13) появился впервые и свидетельствует о том, что в распределении скорости имеется другая и более слабая особенность, связанная с локальной кривизной вихревой нити. Видно, что жидкость в окрестности точки О на вихревой линии имеет большую скорость в направлении бинормали, причем величина этой скорости изменяется асимптотически как Таким образом, идеальная криволинейная вихревая нить должна будет двигаться и в общем случае изменять свою форму с бесконечной скоростью. Вывод из этого состоит в том, что если кривизна трубки с отлична от нуля, то имеются большие скорости движения и деформации интенсивной вихревой трубки малого поперечного сечения, которые сильно зависят от ее величины. Вывод этот практически малопригоден, поскольку вряд ли можно получить информацию о площади поперечного сечения трубки.

Итак, мы установили, что изолированная криволинейная вихревая нить движется с бесконечной скоростью под действием индуцированного ею поля скорости; очевидно, что этот вывод не теряет своей общности и в предположениях, использованных ранее при

(страница пропущена)

(страница пропущена)

Рис. 7.1.2. Схема возникновения неустойчивости плоской вихревой пелены по отношению к малому возмущению.

заметим, что само возмущение не предполагается двумерным. Величины взаимосвязаны, так как вихревая пелена представляет собой жидкую поверхность, которая остается границей двух областей жидкости. Рассматривая вихревую пелену как границу верхней области, находим

учитывая малые возмущения с точностью до членов первого порядка, отсюда получаем

Аналогичным образом, считая вихревую пелену границей нижней области, находим приближенно

В дополнение к этим кинематическим условиям сращивания на общей границе двух потоков должно выполняться условие для давления. Если два потока одной и той же жидкости прилегают друг к другу, то на поверхности раздела поверхностное натяжение равно нулю и давление должно быть непрерывным при переходе через эту поверхность, т. е.

В каждой из двух областей жидкости давление определяется выражением (см. (6.2.5))

Подставляя соответствующие выражения для и в (7.1.16) и снова предполагая, что в обеих областях жидкость одна и та

же, т. е. плотность непрерывна при мы находим приближенное соотношение

Полученные линейные уравнения можно решить, если смещение вихревой пелены представить посредством интеграла Фурье по Из (7.1.14) и (7.1.15) очевидно, что частная синусоидальная зависимость величины от влечет за собой аналогичную зависимость от Следовательно, возмущение должно быть суперпозицией независимых компонент Фурье вида

запись в комплексной форме удобна с той точки зрения, что не все переменные величины имеют одну и ту же фазу. Здесь и а — компоненты векторного волнового числа в плоскости абсолютная величина которого равна

соответствующие возмущения изменяются по синусоидальному закону с длиной волны в направлении, образующем угол с осью х в плоскости Величины удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. они зависят от у как учетом условия, что возмущение исчезает вдали от вихревой пелены по обе стороны от нее, мы находим

где функции, зависящие лишь от времени; в (7.1.18) используются только действительные части соответствующих выражений.

После подстановки (7.1.18) в (7.1.14) и (7.1.15) получаем

Из (7.1.17), во-первых, видно, что постоянная в правой части может быть отличной от нуля только в том случае, когда компоненты Фурье не зависят от (а также и от и этой постоянной мы можем пренебречь, а во-вторых, с учетом (7.1.19) находим

Отсюда следует

и

Положительный корень а соответствует экспоненциальному возрастанию возмущения; теоретическое существование этого возрастания указывает на неустойчивость вихревой пелены к любому периодическому возмущению по для которого

Как можно заметить, выражения для содержат величину только в комбинации с а. Чтобы выяснить причину этого, разложим вектор скорости в каждом из двух невозмущенных потоков на составляющие, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна векторному волновому числу в плоскости соответствующим образом разложим на составляющие и завихренность пелены. Та компонента завихренности невозмущенной пелены, которая параллельна векторному волновому числу, соответствует составляющей скорости потока, параллельной гребням волны возмущения, и не взаимодействует с возмущением; иначе говоря, для любых малых амплитуд деформации синусоидальная деформация однородной вихревой пелены, при которой гребни возмущенной пелены остаются параллельными скоростям потоков по обе стороны пелены, дает в результате установившуюся картину течения (это можно сравнить с результатами, полученными в § 2.6 для вихревой пелены с постоянной напряженностью). Компонента завихренности невозмущенной пелены, нормальная векторному волновому числу, а следовательно, параллельная гребням волны, будет порождать вихревую пелену с плотностью завихренности эта компонента соответствует потокам, текущим поперек гребней волны возмущения, и только она одна обусловливает взаимодействие вихревой пелены с волной возмущения и усиление колебаний.

Из приведенных замечаний следует, что задача упростится, если мы перейдем к новым координатам в плоскости невозмущенной вихревой пелены, которые определим следующим образом:

новая ось х параллельна векторному волновому числу, а ось z нормальна Вектор возмущения скорости всюду лежит в плоскости и скачок компоненты скорости в этой плоскости при переходе через невозмущенную пелену имеет величину которую обозначим, например,

Механизм неустойчивости вихревой пелены можно понять, используя изменение распределения завихренности и соответствующее влияние этого изменения на распределение скорости. Рассмотрим

Вектор градиента скалярной функции V есть

Градиент по направлению получается с помощью оператора который может действовать как на скалярную величину, так и на векторную. Чтобы найти компоненты вектора где

мы должны знать зависимость функций и единичных векторов с от координат. Как следует из выписанных выше соотношений,

где компоненты вектора вдоль

Операторы дивергенции и ротора действуют только на векторные величины, и

Воспользовавшись полученными выше выражениями для производных от находим

это выражение можно рассматривать как результат применения формулы Остроградского — Гаусса к малому параллелепипеду, стороны которого равны смещениям вдоль координатных линий, соответствующих приращениям Аналогично находим выражение

или

составляющую вдоль оси х. Теперь, когда мы установили, что вблизи точек, подобных А, имеется некоторое накопление положительной завихренности, должно существовать соответствующее распределение индуцированной скорости, которое стремится повернуть жидкость вокруг точки А в направлении против часовой стрелки и, следовательно, увеличить амплитуду синусоидального смещения вихревой пелены. Большая амплитуда смещения вызывает более быстрое накопление завихренности вблизи точек типа точки А, и, таким образом, колебания в целом ускоряются. Особой чертой синусоидального возмущения вихревой пелены является то, что два процесса — накопление завихренности вблизи точек, подобных А, и поворот прилегающих участков пелены — происходят одновременно и приводят к экспоненциальному росту возмущения во времени без изменения его пространственной формы.

Теперь мы можем выяснить смысл отрицательного значения корня в (7.1.20). Предположим, что нам удалось в некоторый начальный момент времени создать возмущение волнообразной вихревой пелены в таком виде, что точки, подобные точкам С на рис. 7.1.3, стали центрами накопления завихренности (при подходящем ее синусоидальном распределении); тогда последующее движение будет стремиться (а) повернуть участки пелены вблизи точки С в направлении против часовой стрелки относительно С и (б) усилить завихренность вблизи точек, подобных точкам А, как и выше, способствуя, таким образом, экспоненциальному уменьшению возмущения. Однако начальные условия такого вида в действительности маловероятны, поэтому отрицательными значениями корня для а в рассмотренной и в подобных задачах устойчивости можно пренебречь.

Проведенный анализ показывает, что скорость возрастания синусоидального возмущения, определяемая как равна Таким образом, в случае возмущения более общего вида компоненты Фурье с большим волновым числом (а среди них с равным модулем волнового числа и с векторным волновым числом, параллельным двум невозмущенным потокам) будут увеличиваться быстрее и в результате станут основными компонентами возмущения. Более точное изучение показывает, что, хотя развитая теория дает точное описание устойчивости переходного слоя толщины d между двумя однородными потоками по отношению к синусоидальному возмущению с длиной волны, большой по сравнению с d, возмущения с длиной волны, меньшей величины порядка d, не возрастают; кроме того, для некоторой длины волны также порядка d скорость возрастания возмущений максимальна. В этом более реальном случае следует ожидать, что начальное возмущение произвольного вида превратится путем усиления отдельных компонент Фурье в почти синусоидальное возмущение с длиной волны,

близкой к той, скорость возрастания которой максимальна; конечно, эти выводы справедливы лишь в том случае, когда величина возмущения настолько мала, что применимы линейные уравнения. Видимые на фото 5.10.5 большие и примерно периодические колебания потока появились в результате усиления малого возмущения, а длина волны колебаний, по-видимому, имеет тот же порядок, что и толщина переходного слоя, сходящего с острой кромки.

Рассмотренный выше анализ неустойчивости нетрудно распространить на случай вихревой пелены, отделяющей два потока жидкостей с различными плотностями, при наличии силы тяжести и поверхностного натяжения на границе раздела жидкостей. Соответствующие результаты находят применение в таких задачах, как возникновение волн на свободной поверхности жидкости при наличии над ней потока газа.

Упражнение

(см. скан)