5.10. Отрыв пограничного слоя

Теперь мы переходим к обсуждению одного из свойств ламинарного течения при больших числах Рейнольдса, которое представляет наибольшие трудности для теоретического анализа.

Полезно сначала напомнить один из результатов § 4.12, согласно которому при установившемся обтекании тел в интервале чисел

Рейнольдса от 1 до 100 на кормовой части тела образуется характерное обратное течение, становящееся более заметным при увеличении числа Рейнольдса в этом интервале. На фото 4.12.1, 4.12.8 и 4.12.10 показано образование вихрей, стационарных относительно тела. Линии тока, проходящие вблизи передней части поверхности тела, отходят от нее в некоторой точке и огибают большие неподвижные вихри за телом. Числа Рейнольдса для течений, описанных в § 4.12, еще не настолько велики, чтобы на поверхности тела можно было отчетливо увидеть пограничный слой (для плоской пластины из выражения (5.8.10) находим при

Наблюдения за установившимся обтеканием тел при больших числах Рейнольдса, при которых толщина пограничного слоя на передней части тела мала по сравнению с размером тела, позволяют обнаружить такой же отход линий тока от поверхности на некоторой части боковой поверхности; при этом течение в следе у кормовой части тела обычно неустановившееся (вследствие неустойчивости стационарного течения), а присоединенные неподвижные вихри в виде регулярных замкнутых областей течения становятся все менее и менее заметными. На фото 5.10.1 показана подробная картина установившегося процесса отделения линий тока от поверхности сторон удлиненного тела вращения с затупленной кормовой частью; в данном случае толщина оторвавшейся части пограничного слоя очень мала.

Указанное явление отхода линий тока от поверхности тела вблизи его передней части и образование области медленного неустановившегося течения жидкости при обтекании затупленных тел с большими числами Рейнольдса служит примером отрыва пограничного слоя. Как мы увидим позже, отход линий тока от поверхности может произойти даже при числах Рейнольдса, близких к 10, однако это явление особенно важно при больших числах Рейнольдса, когда отходящие линии тока переносят значительное количество завихренности от поверхности тела. Отрыв пограничного слоя характерен не только для течений, возникающих при движении тел в бесконечной жидкости; например, он имеет место в том случае, когда текущая через короткий канал или трубу жидкость замедляется в расширяющемся сечении канала, как показано на фото 5.10.2 (канал или труба здесь считаются настолько короткими, что пограничный слой на стенке не распространяется до оси канала).

Было замечено из наблюдений, что отрыв пограничного слоя на плоской или закругленной твердой стенке без острых кромок происходит тогда, когда скорость эффективно невязкой жидкости на внешней границе пограничного слоя уменьшается в направлении течения достаточно быстро и на достаточно большую величину. Насколько быстрым и большим должно быть это уменьшение

скорости внешнего течения, точно установить невозможно, так как необходимо учитывать также и предысторию развития пограничного слоя; однако на практике установившийся пограничный слой обычно отделяется после весьма незначительного замедления внешнего течения. Правда, некоторые решения из семейства решений Фокнера — Скэн (§ 5.9) представляют пограничные слои, которые не отрываются от плоской стенки, несмотря на произвольное уменьшение скорости внешнего течения; однако на самом деле замедление течения здесь очень мало и начальный профиль скорости в слое должен иметь предсказываемую решением форму.

Два фото 5.10.3 позволяют наглядно продемонстрировать, что отрыв пограничного слоя существенно связан с наличием твердой границы, на которой выполняется условие прилипания жидкости и образуется завихренность. На первом фото показано двумерное течение в окрестности критической точки на плоской твердой стенке (вида, рассмотренного в § 5.5), а на втором показано, каким образом изменяется это течение, если в плоскости симметрии течения поместить дополнительно тонкую твердую пластинку. Эта пластинка совпадает с некоторой линией тока первоначального течения (на первом фото), так что если бы жидкость была невязкой и могла скользить по пластинке, то исходное течение не изменилось бы. В самом же деле на пластинке выполняется условие прилипания жидкости и должен формироваться пограничный слой. Кроме того, замедление жидкости в плоскости симметрии первоначального течения весьма неблагоприятно для возможности существования на пластинке установившегося тонкого пограничного слоя; все больше и больше завихренности накапливается в нарастающем пограничном слое, и, наконец, происходит отрыв около переднего края пластинки; поэтому набегающий безвихревой поток уже не протекает вблизи исходной твердой стенки.

Несмотря на то, что отрыв пограничного слоя повсеместно происходит в течениях жидкостей и оказывает огромное воздействие на поток в целом, до сих пор не достигнуто адекватного понимания этого явления и оно не получило аналитического описания. Отрыв пограничного слоя несомненно связан с опытным фактом, который состоит в том, что при наличии заметного падения скорости внешнего потока невозможно существование установившегося пограничного слоя, прилегающего к твердой границе. По-видимому, в тех случаях, когда заметное уменьшение скорости внешнего потока происходит в начальной фазе установления течения, завихренность переносится от стенки так быстро, что она уже не может локализоваться внутри тонкого слоя. В результате этого характер течения в целом изменяется, и оно принимает такую форму, что пограничный слой остается присоединенным к границе лишь в той области, для которой на внешней

границе пограничного слоя либо нет замедления жидкости, либо оно мало. Трудность состоит в том, что у нас не имеется никакого средства предсказать, какой будет окончательная форма течения.

В случае установившегося состояния, когда распределение давления на границе считалось известным, были предприняты попытки найти математическую зависимость между отрывом пограничного слоя и его предысторией вверх по потоку. Как отмечалось в § 5.9, обычная схема интегрирования уравнений пограничного слоя состоит в переходе от некоторого начального значения х, для которого известно распределение скорости по у (в качестве начального значения х может быть взята точка фактического начала пограничного слоя), к большим значениям х, для которых задано распределение давления, или, что эквивалентно, скорости внешнего потока. Было установлено, что применение таких методов сопряжено с большими затруднениями в областях длительного замедления внешнего потока; при этом обычно возникают характерные для численных методов трудности, такие, как отсутствие сходимости итерационного процесса; вычислительные трудности быстро увеличиваются по мере приближения к точке, в которой напряжение трения на стенке равно нулю. В этой точке решение уравнений пограничного слоя имеет алгебраическую особенность, как было установлено в результате тщательного численного исследования пограничного слоя в частном случае со скоростью внешнего потока где — постоянные (Хартри (1949); Лейф (1955)). Мы уже знаем одно регулярное решение, для которого именно автомодельное решение Фокнера-Скэн при (§ 5.9); правда, это решение, по-видимому, нельзя считать характерным из-за того, что для всех значений х.

Если в некотором течении величина изменяется гладко от положительных значений через нулевое значение к отрицательным при увеличении х, то та точка, в которой напряжение трения на стенке равно нулю, является точкой, в которой начинается обратное течение 1). Можно считать, что уравнение двумерного движения (в точной форме или в приближении пограничного слоя) характеризует изменение завихренности жидкости в произвольной точке поля течения в результате диффузии завихренности и переноса ее вместе с жидкостью. Поэтому следует ожидать, что численное интегрирование вперед уравнений пограничного слоя, при котором условия в некоторой точке определяются по условиям в точке с меньшим значением х, окажется в общем случае успешным только тогда, когда скорость жидкости увеличивается в направлении х во всем интервале интегрирования:

если же в некоторой точке имеется обратное течение, то завихренность будет связана с конвекцией от точек с координатами х, превышающими тем самым она определяется не только условиями при что противоречит основному предположению вычислений.

Ситуация, таким образом, такова: во-первых, из наблюдений нам известно, что установившийся пограничный слой «отрывается» (отделяется) от твердой границы гладкой формы (или на малом расстоянии вниз по потоку от точки максимального значения скорости внешнего потока); и, во-вторых, при выполнении интегрирования уравнений пограничного слоя вперед в направлении внешнего потока имеются реальные трудности в окрестности точки нулевого напряжения трения на стенке. В литературе считается общепринятым мнение, не имеющее, правда, должного подтверждения, что точка отрыва совпадает с точкой нулевого напряжения трения на стенке. Согласно данным наблюдений, можно всего лишь утверждать, что эти две точки обычно весьма близки; экспериментальные наблюдения затруднены из-за неустойчивости течения вниз по потоку от точки отрыва, а иногда и из-за последующего присоединения пограничного слоя к стенке. На современном уровне знаний осторожная точка зрения состоит в том, что нулевое напряжение трения на стенке с необходимостью предшествует или сопутствует отрыву установившегося пограничного слоя, т. е. оно может быть в точке отрыва или выше ее по потоку. В любом случае из теории пограничного слоя следует важный вывод, что при неизменном распределении скорости внешнего потока положение точки нулевого трения на стенке не зависит от числа Рейнольдса; таким образом, обращение в нуль напряжения трения в некоторой точке и предположительно связанное с ним явление отрыва пограничного слоя существуют и в пределе при

Отвлекаясь от возможности существования особенности решения уравнения установившегося пограничного слоя в точке нулевого напряжения трения на стенке, одного априорного анализа пограничного слоя недостаточно для определения точки отрыва. Как было установлено выше, отрыв пограничного слоя объясняется отклонением от поверхности тела тех линий тока, которые лежали внутри пограничного слоя на передней части тела; отрыв пограничного слоя влияет на картину течения в целом и определяется как течением внутри и вне пограничного слоя, так и течением по обеим сторонам отделившегося пограничного слоя. Течение вне пограничного слоя описывается уравнением в частных производных эллиптического типа (в случае безвихревого течения это просто уравнение Лапласа) и зависит лишь от формы границы этой области течения, включая и ту часть границы, которая обусловлена отделившимся пограничным слоем. Следовательно,

Рис. 5.10.4. Отрыв от гладкой твердой стенки (а) и от стенки с точкой излома

отрыв влияет на распределение давления в прилегающем к телу участке пограничного слоя. Определение полного течения как внутри, так и вне пограничного слоя в случае установившегося потока с отрывом пограничного слоя составляет одну из главных нерешенных задач механики жидкости.

В случаях отрыва пограничного слоя на телах гладкой формы замечено, что близкие к поверхности линии тока отходят от нее почти по касательной, как показано на рис. 5.10.4, а; на рисунке масштаб тела имеет порядок единицы, а толщина пограничного слоя бесконечно мала. Если отходящая линия тока в точке отрыва образует со стенкой вверх по потоку угол то легко показать (с учетом отмеченной выше интерпретации соотношения (5.9.2) как распределения скорости на клине в безвихревом течении), что скорость внешнего потока (по предположению безвихревого) должна быть равна нулю в точке следовательно, при подходе к точке должно иметь место заметное замедление внешнего потока, и, как мы уже видели, это должно привести к появлению обратного течения и слишком большому накоплению завихренности внутри тонкого слоя. Иначе говоря, в установившемся течении отход линий тока от поверхности в пограничном слое возможен только по направлению касательной к поверхности тела.

Отрыв пограничного слоя на стенке с точкой излома имеет некоторые характерные особенности и заслуживает отдельного обсуждения. Для этого случая установлено, что пограничный слой всегда отрывается в точке излома поверхности (как это имеет место в течении, показанном на фото 4.12.10 при двух самых больших числах и 250) и покидает поверхность по касательной к ее участку вверх по потоку (см. рис. 5.10.4,б). По-видимому, установившееся течение здесь невозможно, поскольку картина течения внутри и вне пограничного слоя в данном случае отличается от той, которая имеется в случае отрыва на гладкой поверхности; поток в целом перестраивается таким образом, что происходит отрыв указанного вида. Кроме того, установлено, что в отличие от пограничного слоя на гладкой поверхности скорость

невязкого потока на внешней границе пограничного слоя не уменьшается при приближении к точке отрыва. (Заметим, что интегрирование уравнений пограничного слоя вперед от некоторой точки, расположенной вверх по потоку, с наблюдаемым распределением скорости внешнего потока не дает никаких указаний на отрыв пограничного слоя в точке излома.)

В данном случае можно применить также анализ роста пограничного слоя на поверхности тела после начала его движения в покоящейся жидкости (см. § 5.9). При полностью безвихревом обтекании тела с точкой излома величина скорости жидкости в этой точке весьма велика (как будет показано в § 6.5, теоретическое значение равно бесконечности, если радиус кривизны в точке излома равен нулю). Таким образом, величина которая должна быть подставлена в соотношение (5.9.16), принимает большое отрицательное значение непосредственно вниз по потоку за точкой излома. Поэтому почти сразу же после начала движения тела в указанной области возникает обратное течение, причем довольно сильное. Здесь происходит формирование неподвижного вихря, а влияние этого вихря на набегающую жидкость приводит к образованию картины течения, показанной на рис. 5.10.4, б.

На фото 5.10.5 показана подробная картина развития отрыва почти непосредственно после начала движения тела с изломом; визуализация потока вблизи передней части тела была достигнута за счет выпуска пара с обтекаемой поверхности, которому соответствуют теневые участки при освещении мощной вспышкой. Распространение завихренности от точки излома происходит столь быстро, что некоторые частицы жидкости с завихренностью остаются на теле почти в первоначальном положении. На этих фотоснимках видна характерная спиралеобразная форма траекторий жидких частиц, которые движутся от точки излома; такая форма траекторий частиц вызвана индуцированной скоростью жидкости из-за распространения завихренности от излома. Видна также заметная неустойчивость вихревой пелены и ее волнистость, а в более поздние моменты времени вместо однородной пелены наблюдается скапливание пара (и, по-видимому, завихренности) через равные промежутки. Последние четыре фотоснимка сделаны, когда тело двигалось с предельной стационарной скоростью, однако большой вихрь, оторвавшийся от излома, еще не успел продвинуться достаточно далеко вниз по потоку, чтобы течение вблизи тела полностью достигло своей (статистически) установившейся формы, возможно за исключением передней половины поля течения.

На фото 5.10.6 менее подробно показана картина развития обтекания из состояния покоя модели дома с двускатной крышей. Существование малого замкнутого вихря сразу позади

острой вершины крыши можно наблюдать на фото размеры этого вихря увеличиваются до тех пор, пока он не распадется на отдельные нерегулярные флуктуации завихренности (см. фото 5.10.6, д). На фото заметны два очень малых вихря у основания дома с наветренной и подветренной сторон; первый из них связан с отрывом пограничного слоя от поверхности земли из-за замедления внешнего потока, а второй, по-видимому, обусловлен аналогичной причиной из-за замедления потока в направлении к дому, индуцированного большим стационарным вихрем (правда, число Рейнольдса этого вторичного потока не настолько велико, чтобы там формировались ясно выраженные пограничные слои). На фото видно, что, когда твердая граница имеет резкий излом, форма окончательного статистически установившегося течения в значительной степени может зависеть от направления касательной к границе на наветренной стороне излома.

Необходимость отрыва пограничного слоя на границе с резким изломом и существенное влияние такого отрыва на форму течения в целом служат важными моментами в теории подъемной силы тел, движущихся в жидкости. Как мы увидим в § 6.7, тенденция пограничного слоя отрываться таким путем, чтобы почти устранить замедление внешнего потока на участке прилегания пограничного слоя в установившемся состоянии, может быть использована в различных задачах аэродинамики.