2.7. Распределения скорости при нулевой завихренности и нулевой скорости расширения

Было показано, что заданным значениям скорости расширения А и завихренности во всех точках жидкости отвечает распределение скорости (2.4.13). Слагаемые в (2.4.13) получены по известным распределениям А и соответственно, а последнее слагаемое осталось неопределенным. Цель этого параграфа состоит в том, чтобы изучить поле скорости определяемое уравнением (2.4.14), т. е.

Скорость и эффективно несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению поэтому уравнения (2.7.1) выполняются не только для функции одной из трех слагаемых скорости жидкости при заданных скорости расширения и завихренности, но и для фактической скорости несжимаемой жидкости, в которой по каким-либо причинам завихренность равна нулю. В дальнейшем мы убедимся, что большинство жидкостей в широком диапазоне условий течения ведут себя так, как будто они близки к несжимаемым (§ 3.6), а также, что поля течения жидкости, обладающие на первый взгляд очень ограничивающим свойством нулевой завихренности на протяжении больших частей поля, по динамическим причинам оказываются довольно распространенными Поэтому изучение безвихревых соленой дольных векторных полей имеет в механике жидкости большое практическое значение. Кроме того, простота уравнений (2.7.1) дает возможность их всестороннего математического изучения и применения к ним мощных аналитических методов. Различные безвихревые поля течения, в которых скорость жидкости представляет собой безвихревой и соленоидальный вектор, будут подробно рассматриваться в гл. 6, здесь же нам желательно установить некоторые более общие результаты, касающиеся векторной функции удовлетворяющей уравнениям (2.7.1) (для удобства изложения будем называть ее скоростью, даже если она может быть только одним из трех слагаемых реальной скорости жидкости).

В жидкости, в которой мгновенное распределение скорости определяется искомым вектором жидкие элементы

подвергаются поступательному смещению и чисто деформационному движению без изменения объема и без вращения.

Поскольку вихрь равен нулю во всех точках жидкости, то из теоремы Стокса

для любых стягиваемых замкнутых кривых, лежащих внутри жидкости, так как всегда можно найти открытую поверхность, ограниченную какой-либо стягиваемой кривой и расположенную целиком в жидкости. Если через обозначить две точки связной области жидкости, а через две различные кривые, соединяющие точки таким образом, чтобы они вместе образовывали стягиваемую замкнутую кривую, целиком расположенную в жидкости, то из (2.7.2) следует

Криволинейный интеграл от векторной функции по кривой, соединяющей точки и лежащей внутри жидкости, имеет, следовательно, одно и то же значение для множества путей, любые два из которых образуют стягиваемую замкнутую кривую, и зависит только от координат точек соответственно. Поэтому можно определить функцию такую, что

Интеграл берется по одному из упомянутых выше путей. Вектор градиента функции находится путем варьирования положения точки что дает

Функция вызывается потенциалом скорости для поля вектора (хотя не составляет труда интерпретировать как некоторую потенциальную энергию). Обычно координата остается неопределенной, поскольку разность между значениями функции соответствующими двум различным выбранным значениям не зависит от координаты х и поэтому не оказывает влияния на величину градиента

Укажем попутно обращение результата, выражаемого равенством (2.7.2), поскольку оно пригодится нам позже при обсуждении динамических уравнений движения жидкости с малой вязкостью: если циркуляция в поле скорости по любым стягиваемым замкнутым кривым, проведенным в жидкости, равна нулю, то всюду внутри этой области. Это следует из того факта,

что в этом случае для всех точек внутри области может быть определена функция и тогда скорость имеет вид (2.7.4) для безвихревого течения. Иначе на основании теоремы Стокса можно утверждать, что для любых открытых поверхностей А, расположенных в жидкости и ограниченных стягиваемыми кривыми, должно быть

если подинтегральное выражение есть непрерывная функция от х, это возможно только тогда, когда равенство выполняется для всех точек области.

Введение функции посредством (2.7.4) приводит к тому, что уравнение удовлетворяется тождественно, а три неизвестные скалярные компоненты вектора определяются тем самым единственной скалярной функцией Тогда, согласно первому из условий (2.7.1), во всей жидкости должно выполняться уравнение

Это уравнение относительно функции известно как уравнение Лапласа; оно встречается во многих разделах математической физики, и для функций, удовлетворяющих этому уравнению (часто называемых гармоническими), получено много общих результатов. Заслуживает упоминания линейность уравнения, объясняющая относительную простоту анализа безвихревого соленоидального течения; изменение распределения скоростей в жидкости во времени в общем случае описывается нелинейными динамическими уравнениями однако в данном частном случае безвихревого соленоидального течения ограничения, налагаемые на распределения скоростей, оказываются настолько сильными, что сводятся к требованию, чтобы распределение скорости в пространстве удовлетворяло простым линейным уравнениям (2.7.4) и (2.7.5) независимо ни от каких изменений во времени.

Уравнение (2.7.5) — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и относится к уравнениям эллиптического типа. Известно, что решения таких уравнений и все их производные по компонентам вектора х конечны и непрерывны во всех точках, за исключением, возможно, некоторых точек на границе поля. (В противоположность этому

решения уравнений гиперболического типа, например волнового уравнения, могут быть разрывными во внутренних точках области.) Таким образом, гладкость распределения скорости обеспечивается во всех точках жидкости, за исключением тех точек границы, в которых задаются некоторые особенности, например резкое изменение направления касательной плоскости при наличии угла или кромки; эти особенности входят в граничные условия.

Свойства решений уравнения (2.7.5) сильно зависят от топологии области пространства, в котором справедливо это уравнение. Если область, занятая жидкостью, односвязная, то любая пара кривых, соединяющих две точки и расположенных в жидкости, вместе составляют стягиваемую замкнутую кривую, при обходе по которой циркуляция равна нулю, так что функция определяемая по формуле (2.7.3), представляет собой однозначную функцию х. Если область, занятая жидкостью, многосвязная, то разность также имеет одно и то же значение для всех тех путей, любые два из которых образуют стягиваемую замкнутую кривую, однако эта разность может принимать различные значения для других путей и поэтому может быть многозначной. Пока будем считать, что жидкость занимает односвязную область; менее важный случай течения в многосвязной области будет изучен в § 2.8.

Условия единственности для определения ...

Важный результат, касающийся условий, при которых функция определяется однозначно с точностью до произвольной аддитивной постоянной, можно установить следующим путем. Запишем сначала тождество

и воспользуемся им, чтобы переписать следующий интеграл по объему, занимаемому жидкостью:

Если произведение представляет собой однозначную функцию координат, как это и бывает, если жидкость занимает односвязную область пространства, то по формуле Остроградского — Гаусса можно преобразовать этот интеграл в интеграл по поверхности А, ограничивающей рассматриваемый объем. Следовательно, для области жидкости, ограниченной извне поверхностью возможно, также ограниченной изнутри поверхностью имеем

Рис. 2.7.1. К рассмотрению области жидкости, ограниченной изнутри поверхностью и извне поверхностью

где единичные векторы нормалей к элементам поверхности и , являющиеся внешними по отношению к замкнутым поверхностям (рис. 2.7.1).

Соотношение (2.7.6) дает замечательный результат, заключающийся в том, что всегда, если нормальная компонента вектора равна нулю во всех точках внутренних и внешних границ, то

и, следовательно, вектор должен быть равен нулю всюду в жидкости. Это означает, что никакое безвихревое движение несжимаемой жидкости, содержащейся в односвязной области внутри твердых границ (через которые поток массы жидкости должен быть равен нулю), не может возникнуть, если хотя бы часть границы не движется с ненулевой компонентой скорости в направлении локальной нормали.

Тот факт, что только одно решение уравнений (2.7.1) (а именно совместимо с нулевой нормальной компонентой скорости всюду на границах, показывает, что заданные значения нор мальной компоненты скорости на границах области единствен образом определяют значение скорости всюду внутри области Это именно так, в чем можно весьма просто убедиться, заметив, что если два решения уравнений (2.7.1), то их разность есть также решение, и соотношения (2.7.6) можно переписать, подставляя в них вместо разность и вместо разность Условия, при которых существует не больше одного решения, т. е. при которых всюду совпадают с условиями, которые тождественно обращают в нуль выражение

Если нормальные компоненты скорости имеют одинаковые заданные значения в каждой точке границ то

на поверхностях на которых выражение (2.7.7) обращается в нуль, и во всех точках жидкости. Аналогично выражение (2.7.7) обращается в нуль и в том случае, когда функции имеют одинаковые заданные значения в каждой точке этих границ, хотя такое условие единственности менее пригодно для практических задач. Равенство также выполняется всюду, если потребовать, чтобы было в некоторых точках границ, а в остальных

Многие поля течений, рассматриваемых в механике жидкости, имеют большую протяженность, чем соответствующие линейные размеры интересующей области, и полезная математическая идеализация в таких случаях состоит в том, что жидкость считается простирающейся до бесконечности. В частности, наиболее часто встречающийся тип течения создается твердым телом, движущимся через большое пространство, занятое жидкостью, которая в отсутствие тела находится в покое; поэтому желательно установить теорему единственности для такого типа течения подобно тому, как это было сделано выше. В доказательстве точно так же используется формула (2.7.6), причем в качестве поверхности нужно взять сферу достаточно большого радиуса, заключающую в себе все внутренние границы. Однако оценка интеграла по поверхности от произведения требует тщательного изучения поведения функции на бесконечности, которое будет проведено в § 2.9 и 2.10, и поэтому пока отложим обсуждение теоремы единственности для жидкости, простирающейся на бесконечность и покоящейся там. Вывод состоит в том, что решение уравнений (2.7.1) для скорости единственно, если наложить некоторые альтернативные условия в каждой точке на внутренней границе, причем одно — наиболее важное — условие состоит в том, что нормальная компонента скорости на границе принимает заданное значение.

Эти теоремы единственности имеют очень важные следствия для безвихревого течения несжимаемой жидкости. Распределение скорости в целом в таком течении (в односвязной области пространства) определяется единственным образом по заданным значениям нормальной компоненты скорости на любой внутренней или внешней границах (если они имеются) и, следовательно, в случаях, в которых эти границы представляют собой

поверхности твердых тел, — по заданному движению самих твердых тел. Таким образом, когда твердое тело движется через жидкость, которая в отсутствие тела неподвижна, ее поле течения определяется однозначно мгновенной скоростью тела (и его формой); ни ускорение, ни предыстория движения тела при этом несущественны. В частности, когда жидкость ограничена неподвижными твердыми границами, она обязательно будет всюду неподвижна. Очевидно, что мгновенные движения тела и жидкости тесно связаны друг с другом (это указывает на то, что уравнения (2.7.1) подходят для описания течения жидкости только при отсутствии у нее упругих и диссипативных свойств).

Общее описание способа, которым определяется полное распределение скорости жидкости в односвязной области, можно закончить случаем, когда заданы распределения скорости объемного расширения и завихренности. Как видно из (2.4.13), имеются три слагаемых в распределении скорости, одно из которых связано с заданным распределением скорости расширения, и оно определяется в явном виде по формуле (2.4.5), а другое связано с заданным распределением завихренности и определяется явно выражением (2.4.11). Третье слагаемое таково, что функция удовлетворяет уравнению (2.7.5), а скорость однозначно определяется по заданным значениям нормальной компоненты скорости (или по заданным значениям функции на границе жидкости. Обычно бывает так, что выражения (2.4.5) для скорости и (2.4.11) для имеют отличные от нуля нормальные компоненты на границе жидкости. Следовательно, значение нормальной компоненты скорости которое должно быть задано на границе, не будет просто нормальной компонентой действительной скорости жидкости на границе, а равно разности между нормальными компонентами этой действительной скорости и суммы добавков от скоростей Если границей жидкости служит твердое тело, движущееся поступательно со скоростью то заданная величина нормальной компоненты скорости на границе равна

где локальная единичная нормаль к поверхности тела.