Поступательное движение эллиптического цилиндра

Выражение комплексного потенциала, описывающего течение, вызванное поступательным движением эллиптического цилиндра, можно получить посредством конформного отображения области вне эллипса из плоскости z на область вне круга в плоскости способом, изложенным в § 6.5. Нам потребуется преобразование, дающее линейные соотношения между и между для точек окружности в плоскости так как при этом круг превращается в эллипс. Кроме того, учитывая необходимость совпадения при искомое преобразование, очевидно,

Рис. 6.6.3. Семейство софокусных эллипсов в плоскости соответствующих окружностям в плоскости при преобразовании с различными величинами с. Штриховыми линиями показано ортогональное семейство софокусных гипербол, которые соответствуют радиальным прямым в плоскости

следует задать равенством

где действительная постоянная, поэтому

Функция (6.6.7) преобразует окружность радиуса с с центром в начале координат из плоскости в эллипс

в плоскости z, где

Эллипсы различной формы с разными значениями отношения полуосей получаются путем выбора различных значений отношения Некоторые из этого семейства софокусных эллипсов, включая предельный случай плоской пластины показаны на рис. 6.6.3.

Преобразование (6.6.7) можно также использовать для отображения тонких тел с заостренной кормовой частью (профилей) из плоскости z в круг на плоскости как будет объяснено в § 6.7; это впервые было сделано Жуковским (1910).

Комплексный потенциал, описывающий течение в плоскости вокруг кругового цилиндра радиуса с центром в начале координат, обтекаемого потоком со скоростью на бесконечности и с циркуляцией х вокруг цилиндра, имеет вид

Теперь соотношения (6.6.10) и (6.6.7) совместно определяют в параметрическом виде требуемый комплексный потенциал обтекания эллиптического цилиндра потоком с той же скоростью на бесконечности и с той же циркуляцией х вокруг цилиндра.

Комплексный потенциал течения в плоскости z относительно осей координат, связанных с жидкостью на бесконечности, может быть получен путем добавления к приведенному выше комплексному потенциалу члена следовательно, определяется выражением

совместно с преобразованием (6.6.7).

Рассмотрим теперь свойства течения в плоскости . С этой целью удобно ввести полярные координаты в плоскости так, чтобы

и

Кроме того, примем

Тогда соотношение (6.6.10) принимает вид

и соответствующий потенциал скорости и функция тока находятся по формулам

Отметим, между прочим, форму членов, содержащих циркуляцию х, которая характеризует чисто циркуляционное течение

Рис. 6.6.4. Линии тока при обтекании эллиптического цилиндра потоком с постоянной скоростью на бесконечности при и с нулевой циркуляцией вокруг цилиндра;

вокруг цилиндра с круговыми линиями тока в плоскости Соответствующие линии тока в плоскости z представляют собой семейство софокусных эллипсов, некоторые из которых приведены на рис. 6.6.3; любой из этих эллипсов может представлять внутреннюю границу. В сопряженном поле течения, для которого члены, содержащие циркуляцию х в формулах (6.6.16) и (6.6.17), следует поменять местами (и оба они имеют положительные знаки), эллипсы на рис. 6.6.3 становятся эквипотенциальными линиями, а линии тока превращаются в ортогональные к ним гиперболы, изображенные штриховыми линиями. Любую из этих гипербол можно рассматривать как границу, и если выбрать предельную гиперболу с то получится картина безвихревого течения через щель в плоской стенке.

Теперь просто рассчитать линии тока и другие параметры течения, исходя из формул (6.6.16) и (6.6.17) и используя в качестве параметрических координат. Форма линий тока зависит от отношения полуосей эллиптической границы, от направления движения тела, характеризуемого углом а, и от относительной величины циркуляции, определяемой отношением

Рассмотрим сначала случай, когда циркуляция равна нулю. Линии тока для обтекания одного сравнительно толстого эллипса и предельной плоской пластины (в обоих случаях показаны на рис. 6.6.4. Линия тока, которая разделяет части потока, проходящие по различны»! сторонам от цилиндра, пересекает цилиндр, на контуре которого и на ней Ветви этой разделяющей линии тока вверх и вниз по потоку определяются условиями и представляют собой гиперболы, ортогональные к эллиптической границе и софокусные с ней; эти ветви асимптотически приближаются к прямой

кроме того, они одинаковы для всего семейства эллиптических границ, представленного на рис. 6.6.3 (для данного а), так как они зависят только от разности от ).

Кинетическая энергия (на единицу длины цилиндра) жидкости в системе координат, неподвижной по отношению к жидкости на бесконечности, при может быть вычислена различными способами; простейший путь состоит в использовании формулы

Выражения которые следует подставить в подинтегральное выражение, равны действительной и мнимой частям выражения (6.6.11). В результате прямого вычисления находим

Следовательно, для эллиптического цилиндра с большой осью, параллельной оси и малой осью, параллельной оси тензор введенный в § 6.4 и определяемый равенством (6.4.15), имеет компоненты

Данные о скорости на достаточном удалении от движущегося цилиндра и о реакции жидкости на его ускорение тоже содержатся в выражении (6.4.19), как объяснялось в § 6.4.

Полезная дополнительная информация получается из распределения скорости на границе цилиндра в плоскости которое (возвращаясь к системе координат, неподвижной относительно цилиндра) определяется формулой

Когда на цилиндре имеются критические точки при а, расположенные на разделяющей линии тока. Они же являются точками максимального давления в установившемся течении, и их положение (см. рис. 6.6.4) дает возможность предположить, что существует пара сил, действующая на цилиндр и стремящаяся развернуть его длинной осью поперек потока; момент этой пары можно было бы вычислить, исходя из формулы (6.6.21) и теоремы Бернулли, однако позже в этом параграфе будет указан более общий метод.

Когда в семействе линий тока больше нет никакой симметрии и перемещение точек минимума и максимума скорости на границе относительно их положения при не будет одним и тем же на верхней и нижней поверхностях цилиндра. Следовательно, в то время как при полная сила, приложенная

к телу в установившемся течении, обязательно равна нулю из-за симметрии линий тока относительно начала координат, она будет отлична от нуля, когда циркуляция скорости ненулевая.

Силу, действующую на цилиндр, можно рассчитать и непосредственно, зная скорость на поверхности цилиндра, как это было сделано для кругового цилиндра, хотя нам уже известно из общего обсуждения в § 6.4, что сила имеет величину а ее направление составляет угол 90°, измеряемый в сторону циркуляции, с направлением вектора скорости цилиндра Общее влияние возрастания циркуляции на две критические точки на поверхности цилиндра сводится к сближению их на той стороне цилиндра, на которой добавки к скорости жидкости (относительно цилиндра) от потока на бесконечности и от циркуляции имеют противоположные знаки. Значение х, для которого две критические точки совпадают, должно обращать правую часть равенства (6.6.21) в нуль при минимуме и тогда При больших значениях х две совпадающие критические точки сходят с поверхности цилиндра, в результате чего около цилиндра остается объем жидкости, которая в установившемся течении непрерывно циркулирует вокруг него так же, как и в случае кругового цилиндра.

Плоская пластина, получающаяся при или , представляет собой вырожденный случай семейства эллипсов, поскольку скорость бесконечна (см. (6.6.21)) в общем случае на ее обеих кромках, определяемых значениями что и следовало ожидать на основании результатов, полученных ранее для обтекания выступающего в поток угла. Свойства течения вокруг плоской пластины будут обсуждены в следующем параграфе в связи с профилями, имеющими заостренную кормовую часть. Может вызвать удивление, что при распределение давления на плоской пластине в установившемся движении дает результирующую силу, которая не перпендикулярна пластине. Объяснение связано с тем фактом, что бесконечно низкое давление, которое возникает на острых кромках (за исключением того случая, когда с кромкой совпадает критическая точка — см. § 6.7), приводит к появлению ненулевой компоненты силы, параллельной пластине, как уже было показано в § 6.5.