Жидкость, вращающаяся на бесконечности как твердое тело

Если жидкость, простирающаяся до бесконечности, первоначально находится в состоянии вращения с угловой скоростью то любое двумерное движение, вызываемое в этой жидкости, имеет постоянную завихренность в предположении, что выполняются условия теоремы Кельвина о циркуляции. Мы ограничимся

рассмотрением установившегося движения подобного вида при наличии стационарной внутренней твердой границы. В этом случае движение полезно представить как суперпозицию трех видов движения:

а) вращения жидкости как твердого тела с угловой скоростью относительно начала системы координат;

б) однородного течения со скоростью (знак минус введен для согласования с рассмотренным ранее безвихревым течением, обусловленным движением тела со скоростью в покоящейся на бесконечности жидкости; скорость этого течения зависит от расстояния между началом координат и центром вращения);

в) возмущения (не обязательно малой амплитуды), вызванного наличием границы и являющегося безвихревым с потенциалом скорости

Таким образом, в полярных координатах при в направлении скорости мы получаем радиальную и окружную компоненты скорости соответственно

где величина вектора Скорость возмущения на бесконечности равна нулю, а условия нулевого потока жидкости через каждый участок внутренней твердой границы требуют, чтобы нормальная компонента скорости принимала заданное значение (которое зависит от формы границы, а также от таким образом, если еще задано значение циклической постоянной для безвихревого движения, то возмущенное движение единственно и для его определения применимы стандартные методы теории безвихревого течения.

На простом примере, в котором внутренняя граница жидкости имеет вид окружности радиуса а, можно проиллюстрировать, каким образом изменяется поле течения под действием заданной завихренности жидкости. Если в качестве начала системы координат выбрать центр окружности, то граница жидкости не будет перемещаться под действием вращения жидкости как целого относительно начала координат, и потенциал скорости имеет тот же самый вид, что и для безвихревого обтекания цилиндра однородным потоком. Обозначив через х циклическую константу потенциала скорости для безвихревого возмущения течения получим

Распределение полной скорости можно легко представить с использованием функции тока

Рис. 7.4.1. Схема линий тока в двумерном течении, обусловленном неподвижным круговым цилиндром, помещенным во вращающуюся жидкость;

При записи в безразмерном виде, очевидно, появятся два безразмерных параметра На рис. 7.4.1 показана картина линий тока при (что соответствует случаю, когда расстояние центра вращения жидкости как целого от центра цилиндра составляет четыре радиуса цилиндра) и

Очевидно, что вращение всей жидкости как целого обусловливает несимметричность относительно линии обтекания цилиндра, подобно тому как это происходит в случае обтекания цилиндра с ненулевой циркуляцией при отсутствии вращения; кроме того, в данном случае существует ненулевая сила, действующая на цилиндр в направлении по нормали к линии Результирующую силу, действующую на внутреннюю границу жидкости, можно определить с использованием выражения для давления (7.4.6) (без учета действия силы тяжести):

поскольку функция тока постоянна на внутренней границе. Используя (7.4.10), находим ненулевую компоненту силы в направлении оси у:

Вид соотношения (7.4.12) наводит на мысль, что должна существовать формула для силы, действующей на тело произвольной формы, аналогичная формуле Жуковского — Кутта, к которой сводится (7.4.12) при Мы можем проверить эту догадку, применив теорему о количестве движения подобно тому, как это сделано в § 6.4. Сила, действующая на тело произвольной формы, помещенное вместо кругового цилиндра на рис. 7.4.1, вычисляется по формуле (6.4.27) и определяется условиями в начале координат (в центре цилиндра), причем нужно учесть следующие изменения: а) величина в (6.4.27) заменяется на невозмущенную скорость которая в данном случае непостоянна, и б) используется новое выражение (7.4.6) для давления. Предоставляем читателю в качестве упражнения убедиться в том, что действующая на произвольное тело сила равна результирующей обычной силы величиной направленной по нормали к и силы если с первый член в ациклической (регулярной) части разложения потенциала скорости по отрицательным степеням Если форма тела задана, то с можно определить путем конформного отображения его границы на окружность. Как уже было отмечено, условие для потенциала скорости на внутренней границе включает как так и поэтому с в общем случае зависит как от этих двух величин, так и от формы тела.